En matemáticas , un álgebra de Leibniz (derecha) , llamada así por Gottfried Wilhelm Leibniz , a veces llamada álgebra de Loday , por Jean-Louis Loday , es un módulo L sobre un anillo conmutativo R con un producto bilineal [_, _] que satisface la identidad de Leibniz
En otras palabras, la multiplicación correcta por cualquier elemento c es una derivación . Si además el paréntesis es alterno ([ a , a ] = 0) entonces el álgebra de Leibniz es un álgebra de Lie . En efecto, en este caso [ a , b ] = −[ b , a ] y la identidad de Leibniz es equivalente a la identidad de Jacobi ([ a , [ b , c ]] + [ c , [ a , b ]] + [ b , [ c , a ]] = 0). Por el contrario, cualquier álgebra de Lie es obviamente un álgebra de Leibniz.
En este sentido, las álgebras de Leibniz pueden verse como una generalización no conmutativa de las álgebras de Lie. La investigación de qué teoremas y propiedades de las álgebras de Lie siguen siendo válidas para las álgebras de Leibniz es un tema recurrente en la literatura. [1] Por ejemplo, se ha demostrado que el teorema de Engel todavía se cumple para las álgebras de Leibniz [2] [3] y que también se cumple una versión más débil del teorema de Levi-Malcev. [4]
Las álgebras de Leibniz fueron descubiertas en 1965 por A. Bloh, quien las llamó D-álgebras. Atrajeron el interés después de que Jean-Louis Loday notó que el mapa de límites clásico de Chevalley-Eilenberg en el módulo exterior de un álgebra de Lie se puede elevar al módulo tensorial que produce un nuevo complejo de cadenas. De hecho, este complejo está bien definido para cualquier álgebra de Leibniz. La homología HL ( L ) de este complejo de cadena se conoce como homología de Leibniz . Si L es el álgebra de Lie de matrices (infinitas) sobre una R asociativa -álgebra A, entonces la homología de Leibniz de L es el álgebra tensorial sobre la homología de Hochschild de A.