En matemáticas , una derivación es una función en un álgebra que generaliza ciertas características del operador derivado . Específicamente, dado un álgebra A lo largo de un anillo o de un campo K , un K -derivation es un K - mapa lineal D : A → A que satisface la ley de Leibniz :
De manera más general, si M es un A - bimodule , un K -linear mapa D : A → M que satisface la ley de Leibniz también se llama una derivación. La colección de todas las K -derivaciones de A a sí misma se denota por Der K ( A ). La colección de K -derivaciones de A en un A -módulo M se denota por Der K ( A , M ) .
Las derivaciones ocurren en muchos contextos diferentes en diversas áreas de las matemáticas. La derivada parcial con respecto a una variable es una R -derivación en el álgebra de funciones diferenciables de valor real en R n . La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial es una R -derivación en el álgebra de funciones diferenciables en una variedad diferenciable ; más generalmente es una derivación del álgebra tensorial de una variedad. De ello se deduce que la representación adjunta de un álgebra de Lie es una derivación de ese álgebra. La derivada de Pincherle es un ejemplo de una derivación en álgebra abstracta . Si el álgebra A es no conmutativo, entonces el conmutador con respecto a un elemento del álgebra A define un lineal endomorphism de A a sí mismo, que es una derivación sobre K . Un álgebra A equipada con una derivación distinguida d forma un álgebra diferencial , y es en sí misma un importante objeto de estudio en áreas como la teoría diferencial de Galois .
Propiedades
Si A es un K- álgebra, para K un anillo, y D : A → A es una K -derivación, entonces
- Si A tiene una unidad 1, entonces D (1) = D (1 2 ) = 2 D (1), de modo que D (1) = 0. Así, por K -linealidad, D ( k ) = 0 para todo k ∈ K .
- Si A es conmutativa, D ( x 2 ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) y D ( x n ) = nx n −1 D ( x ), según la regla de Leibniz.
- De manera más general, para cualquier x 1 , x 2 ,…, x n ∈ A , se sigue por inducción que
- cual es si para todo i , D ( x i ) conmuta con .
- D n no es una derivación, sino que satisface una regla de Leibniz de orden superior:
- Además, si M es un módulo A -b, escriba
- para el conjunto de K -derivations de A a M .
- Der K ( A , M ) es un módulo sobre K .
- Der K ( A ) es un álgebra de Lie con el corchete de Lie definido por el conmutador :
- ya que se verifica fácilmente que el conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación.
- Hay un módulo A Ω A / K (llamados diferenciales de Kähler ) con una derivación K d : A → Ω A / K a través del cual cualquier derivación D : A → M factoriza. Es decir, para cualquier derivación D hay un mapa de módulo A φ con
- La correspondencia es un isomorfismo de los módulos A :
- Si k ⊂ K es un subanillo , entonces A hereda una estructura de k -álgebra, por lo que hay una inclusión
- ya que cualquier derivación de K es a fortiori una derivación de k .
Derivaciones graduadas
Dada un álgebra graduada A y un mapa lineal homogéneo D de grado | D | en A , D es una derivación homogénea si
para cada elemento homogénea una y cada elemento b de A para un factor de conmutador ε = ± 1 . Una derivación graduada es la suma de derivaciones homogéneas con el mismo ε .
Si ε = 1 , esta definición se reduce al caso habitual. Sin embargo, si ε = −1 , entonces
por impar | D |, y D se denomina anti-derivación .
Ejemplos de anti-derivaciones incluyen el derivado exterior y el producto interior que actúa sobre formas diferenciales .
Las derivaciones graduadas de superalgebras (es decir, álgebras graduadas Z 2 ) a menudo se denominan superderivaciones .
Nociones relacionadas
Las derivaciones de Hasse-Schmidt son homomorfismos de álgebra K
Componiendo más con el mapa que envía una serie de poder formal al coeficiente da una derivación.
Ver también
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Elementos de las matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica (3.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
- Matsumura, Hideyuki (1970), álgebra conmutativa , serie de notas de lectura de matemáticas, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
- Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial , Springer-Verlag.