En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de Engel establece que un álgebra de Lie de dimensión finitaes un álgebra de mentira nilpotente si y solo si para cada, el mapa adjunto
dada por , es un endomorfismo nilpotente en; es decir,para algunos k . [1] Es una consecuencia del teorema, también llamado teorema de Engel, que dice que si un álgebra de Lie de matrices consta de matrices nilpotentes, entonces todas las matrices pueden llevarse simultáneamente a una forma triangular estrictamente superior . Tenga en cuenta que si simplemente tenemos un álgebra de Lie de matrices que es nilpotente como álgebra de Lie , entonces esta conclusión no se sigue (es decir, el reemplazo ingenuo en el teorema de Lie de "solucionable" con "nilpotente" y "triangular superior" con "estrictamente triangular superior ", es falso).
El teorema lleva el nombre del matemático Friedrich Engel , quien esbozó una prueba de él en una carta a Wilhelm Killing fechada el 20 de julio de 1890 ( Hawkins 2000 , p. 176). El alumno de Engel, KA Umlauf, dio una prueba completa en su disertación de 1891, reimpresa como ( Umlauf 2010 ).
Declaraciones
Dejar ser el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V yuna subálgebra. Entonces el teorema de Engel establece que lo siguiente son equivalentes:
- Cada es un endomorfismo nilpotente en V .
- Existe una bandera tal que ; es decir, los elementos de son simultáneamente estrictamente triangulizables en la parte superior.
Tenga en cuenta que no se requiere ninguna suposición sobre el campo base subyacente.
Observamos que la Declaración 2. para varios y V es equivalente a la declaración
- Para cada espacio vectorial de dimensión finita V diferente de cero y una subálgebra, existe un vector v distinto de cero en V tal que para cada
Esta es la forma del teorema probado en #Proof . (Esta declaración es trivialmente equivalente a la Declaración 2, ya que le permite a uno construir inductivamente una bandera con la propiedad requerida).
En general, un álgebra de Lie se dice que es nilpotente si la serie central inferior desaparece en un paso finito; es decir, para= ( i +1) -ésima potencia de, hay algunos k tal que. Entonces el teorema de Engel da el teorema (también llamado teorema de Engel): cuando tiene dimensión finita, es nilpotente si y solo si es nilpotente para cada . De hecho, si consta de operadores nilpotentes, luego por 1. 2. aplicado al álgebra , existe una bandera tal que . Desde, esto implica es nilpotente. (Lo contrario se deriva directamente de la definición).
Prueba
Demostramos la siguiente forma del teorema: [2] si es una subálgebra de mentira tal que cada es un endomorfismo nilpotente y si V tiene dimensión positiva, entonces existe un vector v distinto de cero en V tal quepor cada X en.
La prueba es por inducción en la dimensión de y consta de unos pocos pasos. (Tenga en cuenta que la estructura de la demostración es muy similar a la del teorema de Lie , que se refiere a un álgebra resoluble). El caso básico es trivial y asumimos la dimensión de es positivo.
Paso 1 : encuentra un ideal de codimensión uno en .
- Este es el paso más difícil. Dejar ser una subálgebra máxima (adecuada) de , que existe por dimensionalidad finita. Afirmamos que es un ideal y tiene una codimensión. Para cada , es fácil comprobar que (1) induce un endomorfismo lineal y (2) este mapa inducido es nilpotente (de hecho, es nilpotente). Por tanto, por hipótesis inductiva, existe un vector v distinto de cero en tal que para cada . Es decir, si para algunos Y en pero no en , luego para cada . Pero luego el subespacio abarcado por e Y es una subálgebra de mentira en la que es un ideal. Por tanto, por maximalidad, . Esto prueba la afirmación.
Paso 2 : deja. Luegoestabiliza W ; es decir, para cada .
- De hecho, para en y en , tenemos: desde es un ideal y entonces . Por lo tanto, está en W .
Paso 3 : Termine la prueba encontrando un vector distinto de cero que sea asesinado por.
- Escribir donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Let Y ser un vector no nulo en L y V un vector distinto de cero en W . Ahora, es un endomorfismo nilpotente (por hipótesis) y así para algunos k . Luego es un vector requerido ya que el vector se encuentra en W en el Paso 2.
Ver también
Notas
Citas
- ^ Fulton y Harris 1991 , ejercicio 9.10.
- ^ Fulton y Harris 1991 , Teorema 9.9 ..
Trabajos citados
- Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006). Introducción a las álgebras de mentira (1ª ed.). Saltador. ISBN 1-84628-040-0.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. Volumen 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
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tiene texto extra ( ayuda ) - Hawkins, Thomas (2000), Emergencia de la teoría de los grupos de Lie , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98963-1, Señor 1771134
- Hochschild, G. (1965). La estructura de los grupos de mentiras . Día de Holden.
- Humphreys, J. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y teoría de la representación . Saltador.
- Umlauf, Karl Arthur (2010) [Publicado por primera vez en 1891], Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null , Inaugural-Dissertation, Leipzig (en alemán), Nabu Press, ISBN 978-1-141-58889-3