En matemáticas , el teorema de Leray-Hirsch [1] es un resultado básico de la topología algebraica de los haces de fibras . Lleva el nombre de Jean Leray y Guy Hirsch , quienes lo probaron de forma independiente a fines de la década de 1940. Puede considerarse como una leve generalización de la fórmula de Künneth , que calcula la cohomología de un espacio de productos como un producto tensorial de las cohomologías de los factores directos. Es un caso muy especial de la secuencia espectral de Leray .
Configuración
Dejar ser un haz de fibras con fibra. Suponga que para cada grado, el espacio vectorial racional de cohomología singular
es de dimensión finita, y que la inclusión
induce una sobreyección en la cohomología racional
- .
Considere una sección de esta sobreyección
- ,
por definición, este mapa satisface
- .
El isomorfismo de Leray-Hirsch
El teorema de Leray-Hirsch establece que el mapa lineal
es un isomorfismo de -módulos.
Declaración en coordenadas
En otras palabras, si por cada , existen clases
que restringen, en cada fibra , a base de la cohomología en grado , el mapa que se muestra a continuación es entonces un isomorfismo de módulos .
dónde es una base para y así, induce una base por