Dejar ser un mapa continuo de espacios topológicos, que en particular da un functorde gavillas de grupos abelianos en a gavillas de grupos abelianos en . Componiendo esto con el functor de tomar secciones sobre es lo mismo que tomar secciones sobre , por la definición del functor de imagen directo :
Así, los functores derivados de calcular la cohomología de la gavilla para :
Generalizando a otras poleas y complejos de poleas
Tenga en cuenta que este resultado se puede generalizar considerando, en cambio, haces de módulos sobre un haz de anillos localmente constante. para un anillo conmutativo fijo . Entonces, las gavillas serán gavillas de-módulos, donde para un conjunto abierto , tal gavilla es un -módulo para . Además, en lugar de roldanas, podríamos considerar complejos de rollos delimitados por debajopara la categoría derivada de. Luego, se reemplaza la cohomología de la gavilla por la hipercohomología de la gavilla .
Construcción
La existencia de la secuencia espectral de Leray es una aplicación directa de la secuencia espectral de Grothendieck [3] pág . 19 . Esto establece que dados functores aditivos
para las categorías derivadas . En el ejemplo anterior, tenemos la composición de functores derivados
Definición clásica
Dejar ser un mapa continuo de variedades suaves . Si es una tapa abierta de , forman el complejo Čech de una gavilla con respecto a cubrir de :
Los mapas de límites y mapas de gavillas en juntos dan un mapa de límites en el complejo doble
Este complejo doble es también un complejo único clasificado por , con respecto al cuales un mapa de límites. Si cada intersección finita de la es difeomorfo a , se puede demostrar que la cohomología
de este complejo es la cohomología de De Rham de. [4] : 96 Además, [4] : 179 [5] cualquier complejo doble tiene una secuencia espectral E con
(para que la suma de estos sea ), y
dónde es la gavilla en X enviando. En este contexto, esto se denomina secuencia espectral de Leray.
La definición moderna subsume esto, porque el functor de imagen directo superior es la gavilla de la gavilla .
Ejemplos de
Dejar ser colectores lisos , yestar simplemente conectado , entonces. Calculamos la secuencia espectral de Leray de la proyección.. Si la portada es bueno (las intersecciones finitas son ) luego
Desde está simplemente conectado, cualquier presheaf localmente constante es constante, por lo que esta es la presheaf constante . Entonces, la segunda página de la secuencia espectral de Leray es
Como la portada de también es bueno, . Entonces
Este es el primer lugar donde usamos eso es una proyección y no solo un haz de fibras: cada elemento de es una forma diferencial cerrada real en todos los , entonces aplicando tanto d como a ellos les da cero. Por lo tanto . Esto prueba el teorema de Künneth para simplemente conectado:
Si es un haz de fibra general con fibra, se aplica lo anterior, excepto que es solo una gavilla previa localmente constante, no constante.
Todos los cálculos de ejemplo con la secuencia espectral de Serre son la secuencia de Leray para la gavilla constante.
Teorema de la degeneración
En la categoría de variedades cuasi-proyectivas sobre , hay un teorema de degeneración demostrado por Pierre Deligne y Blanchard para la secuencia espectral de Leray, que establece que un morfismo proyectivo suave de variedades nos da que el -página de la secuencia espectral para degenera, por lo tanto
Se pueden calcular ejemplos sencillos si Y simplemente está conectado; por ejemplo, una intersección completa de dimensión(esto se debe al homomorfismo de Hurewicz y al teorema del hiperplano de Lefschetz ). En este caso, los sistemas locales tendrá monodromía trivial, por lo tanto . Por ejemplo, considere una familia tranquilade género 3 curvas sobre una superficie lisa K3 . Entonces, tenemos eso
dándonos el -página
Ejemplo con monodromía
Otro ejemplo importante de una familia proyectiva suave es la familia asociada a las curvas elípticas.
encima . Aquí la monodromía alrededor0 y1 se puede calcular usando la teoría de Picard-Lefschetz , dando la monodromía alrededor componiendo monodromios locales.
Historia y conexión con otras secuencias espectrales.
En el momento del trabajo de Leray, ninguno de los dos conceptos involucrados (secuencia espectral, cohomología de gavilla) había alcanzado nada parecido a un estado definitivo. Por lo tanto, rara vez se cita el resultado de Leray en su forma original. Después de mucho trabajo, en el seminario de Henri Cartan en particular, se obtuvo la declaración moderna, aunque no la secuencia espectral general de Grothendieck.
Anteriormente (1948/9), las implicaciones para los haces de fibras se extrajeron en una forma formalmente idéntica a la de la secuencia espectral de Serre , que no utiliza roldanas. Este tratamiento, sin embargo, se aplicó a la cohomología de Alexander-Spanier con soportes compactos , como se aplicó a mapas adecuados de espacios de Hausdorff localmente compactos, ya que la derivación de la secuencia espectral requirió un haz fino de álgebras graduales diferenciales reales sobre el espacio total, que se obtuvo tirando hacia atrás del complejo de Rham a lo largo de una incrustación en una esfera. Jean-Pierre Serre , que necesitaba una secuencia espectral en homología que se aplicara a las fibraciones del espacio de trayectoria , cuyos espacios totales casi nunca son localmente compactos, no pudo utilizar la secuencia espectral de Leray original y, por lo tanto, derivó una secuencia espectral relacionada cuya variante cohomológica concuerda, para un haz de fibras compacto en un espacio de buen comportamiento con la secuencia anterior.
Secuencia espectral de Grothendieck : para la teoría abstracta subsumiendo la construcción de la secuencia espectral de Leray
Módulo Hodge mixto
Referencias
^ Leray, Jean (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 222 : 1366-1368.
^Miller, Haynes (2000). "Leray en Oflag XVIIA: los orígenes de la teoría de la gavilla, la cohomología de la gavilla y las secuencias espectrales, Jean Leray (1906-1998)" (PDF) . Gaz. Matemáticas . 84 : 17–34.
^ a bDimca, Alexandru (2004). Poleas en topología . Berlín, Heidelberg: Springer . doi : 10.1007 / 978-3-642-18868-8 . ISBN 978-3-642-18868-8. OCLC 851731478 .
^ a bBott, Raoul ; Tu, Loring W. Formas diferenciales en topología algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 82 . Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4757-3951-0 . ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142 .
^Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1978). Principios de geometría algebraica . Nueva York: Wiley . pag. 443. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444 .
enlaces externos
Secuencia espectral de Leray Artículo en la Enciclopedia de Matemáticas
Secuencia espectral de Leray para espacios anillados Artículo del proyecto The Stacks