Forma modular

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En matemáticas , una forma modular es un (complejo) función analítica en el semiplano superior satisfacer un cierto tipo de ecuación funcional con respecto a la acción de grupo del grupo modular , y también la satisfacción de una condición de crecimiento. La teoría de las formas modulares, por tanto, pertenece al análisis complejo, pero la principal importancia de la teoría ha estado tradicionalmente en sus conexiones con la teoría de números . Las formas modulares aparecen en otras áreas, como la topología algebraica , el empaquetamiento de esferas y la teoría de cuerdas .

Una función modular es una función que, como una forma modular, es invariante con respecto al grupo modular, pero sin la condición de que f  ( z ) sea holomorfa en el semiplano superior. En cambio, las funciones modulares son meromórficas (es decir, son holomórficas en el complemento de un conjunto de puntos aislados, que son polos de la función).

La teoría de la forma modular es un caso especial de la teoría más general de las formas automórficas y, por lo tanto, ahora puede verse como la parte más concreta de una rica teoría de grupos discretos .

En general, ^[1] dado un subgrupo de índice finito , llamado grupo aritmético , una forma modular de nivel y peso es una función holomórfica del semiplano superior de modo que se satisfacen las dos condiciones siguientes:${\ Displaystyle \ Gamma \ subconjunto {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle f: {\ mathcal {H}} \ to \ mathbb {C}}$

1. ( condición de automorfía ) Para cualquiera existe la igualdad${\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$${\ Displaystyle f (\ gamma (z)) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$

2. ( condición de crecimiento ) Para cualquiera, la función está limitada a${\ Displaystyle \ gamma \ in {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle (cz + d) ^ {- k} f (\ gamma (z))}$${\ Displaystyle {\ text {im}} (z) \ to \ infty}$

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