En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un radical de un anillo es un ideal de elementos "no buenos" del anillo .
El primer ejemplo de un radical fue el nilradical introducido por Köthe (1930) , basado en una sugerencia de Wedderburn (1908) . En los años siguientes se descubrieron varios otros radicales, de los cuales el ejemplo más importante es el radical de Jacobson . La teoría general de los radicales fue definida independientemente por (Amitsur 1952 , 1954 , 1954b ) y Kurosh (1953) .
En la teoría de los radicales, se suele suponer que los anillos son asociativos , pero no es necesario que sean conmutativos ni que tengan una identidad multiplicativa . En particular, todo ideal en un anillo es también un anillo.
Una clase radical (también llamada propiedad radical o simplemente radical ) es una clase σ de anillos posiblemente sin identidades, tal que:
Para cualquier clase δ de anillos, hay una clase radical L δ más pequeña que lo contiene, llamada el radical inferior de δ. El operador L se llama operador radical inferior .
Una clase de anillos se llama regular si cada ideal distinto de cero de un anillo en la clase tiene una imagen distinta de cero en la clase. Para cada clase regular δ de anillos, hay una clase radical U δ más grande, llamada el radical superior de δ, que tiene una intersección cero con δ. El operador U se llama operador radical superior .