En matemáticas , más específicamente en la teoría del anillo , el radical de Jacobson de un anillo es el ideal que consta de esos elementos enque aniquilan todo bien simple- módulos . Sucede que al sustituir "izquierda" en lugar de "derecha" en la definición se obtiene el mismo ideal, por lo que la noción es simétrica de izquierda a derecha. El radical de Jacobson de un anillo se denota frecuentemente por o ; La primera notación será la preferida en este artículo, porque evita la confusión con otros radicales de un anillo . El radical Jacobson lleva el nombre de Nathan Jacobson , quien fue el primero en estudiarlo para anillos arbitrarios en ( Jacobson 1945 ).
El radical de Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluidas algunas definiciones que extienden con éxito la noción a anillos sin unidad . El radical de un módulo amplía la definición del radical de Jacobson para incluir módulos. El radical de Jacobson juega un papel destacado en muchos resultados teóricos de anillos y módulos, como el lema de Nakayama .
Definiciones
Existen múltiples definiciones y caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, pero es útil considerar las definiciones basadas en si el anillo es conmutativo o no.
Caso conmutativo
En el caso conmutativo, el radical de Jacobson de un anillo conmutativo se define como [1] la intersección de todos los ideales máximos. Si denotamos como el conjunto de todos los ideales máximos en luego
Esta definición se puede utilizar para cálculos explícitos en varios casos simples, como para anillos locales. , que tienen un ideal máximo único, anillos Artin y sus productos. Vea la sección de ejemplos para cálculos explícitos.
Caso general / no conmutativo
Para un anillo general con unidad , el radical de Jacobson se define como el ideal de todos los elementos tal que cuando sea es un módulo simple. Es decir,
Motivación
La comprensión del radical de Jacobson radica en algunos casos diferentes: a saber, sus aplicaciones y las interpretaciones geométricas resultantes, y sus interpretaciones algebraicas.
Aplicaciones geométricas
Aunque Jacobson introdujo originalmente su radical como una técnica para construir una teoría de radicales para anillos arbitrarios, una de las razones por las que se considera al radical de Jacobson en el caso conmutativo se debe al lema de Nakayama . Es una herramienta técnica para el estudio de módulos generados finitamente sobre anillos conmutativos que tiene una fácil interpretación geométrica: si tenemos un paquete vectorial sobre un espacio topológico y elige un punto , entonces cualquier base de puede extenderse a una base de secciones de para algún barrio .
Otra aplicación es en el caso de anillos conmutativos generados finitamente, es decir es de la forma
Caracterizaciones equivalentes
El radical de Jacobson de un anillo tiene varias caracterizaciones internas y externas. Las siguientes equivalencias aparecen en muchos textos de álgebra no conmutativa como ( Anderson 1992 , §15) , ( Isaacs 1994 , §13B) y ( Lam 2001 , Capítulo 2).
Las siguientes son caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson en anillos con unidad (las caracterizaciones para anillos sin unidad se dan inmediatamente después):
- es igual a la intersección de todos los ideales derechos máximos del anillo. La equivalencia proviene del hecho de que para todos los ideales derechos máximos M , R / M es un módulo R derecho simple , y que de hecho todos los módulos R derechos simples son isomorfos a uno de este tipo a través del mapa de R a S dado por r ↦ xr para cualquier generador de x de S . También es cierto quees igual a la intersección de todos los ideales izquierdos máximos dentro del anillo. [2] Estas caracterizaciones son internas al anillo, ya que uno solo necesita encontrar los ideales correctos máximos del anillo. Por ejemplo, si un anillo es local y tiene un ideal derecho máximo único , entonces este ideal derecho máximo único es exactamente. Los ideales máximos son, en cierto sentido, más fáciles de buscar que los aniquiladores de módulos. Esta caracterización es deficiente, sin embargo, porque no resulta útil cuando se trabaja computacionalmente con. La simetría izquierda-derecha de estas dos definiciones es notable y tiene varias consecuencias interesantes. [2] [3] Esta simetría contrasta con la falta de simetría en los zócalos de R , porque puede suceder que soc ( R R ) no sea igual a soc ( R R ). Si R es un anillo no conmutativo,no es necesariamente igual a la intersección de todos los máximos de dos caras ideales de R . Por ejemplo, si V es una suma directa contable de copias de un campo k y R = Fin ( V ) (el anillo de endomorfismos de V como un módulo k ), entonces porque se sabe que es regular de von Neumann , pero hay exactamente un ideal de doble cara máximo en R que consiste en endomorfismos con imagen de dimensión finita. ( Lam 2001 , p. 46, Ej. 3.15)
- es igual a la suma de todos los ideales superfluos derecha (o simétrica, la suma de todos los ideales superfluos izquierda) del R . Comparando esto con la definición anterior, la suma de ideales de derecha superfluos es igual a la intersección de ideales de derecha máximos. Este fenómeno se refleja dualmente para el zócalo derecho de R ; soc ( R R ) es tanto la suma de ideales mínimos de derecha como la intersección de ideales de derecha esenciales . De hecho, estas dos relaciones son válidas para los radicales y los zócalos de los módulos en general.
- Como se define en la introducción, es igual a la intersección de todos los aniquiladores de módulos R simples derechos , sin embargo también es cierto que es la intersección de aniquiladores de módulos simples izquierdos. Un ideal que es el aniquilador de un módulo simple se conoce como ideal primitivo , por lo que una reformulación de este establece que el radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales primitivos. Esta caracterización es útil cuando se estudian módulos sobre anillos. Por ejemplo, si U es un módulo R derecho y V es un submódulo máximo de U , U · J ( R ) está contenido en V , donde U · J ( R ) denota todos los productos de los elementos de J ( R ) ( los "escalares") con elementos en U , a la derecha. Esto se deriva del hecho de que el módulo de cociente U / V es simple y, por lo tanto, aniquilado por J ( R ).
- J ( R ) es el ideal derecho único de R máximo con la propiedad de que cada elemento es cuasirregular derecho [4] [5] (o equivalentemente cuasirregular izquierdo [2] ). Esta caracterización del radical de Jacobson es útil tanto computacionalmente como para ayudar a la intuición. Además, esta caracterización es útil para estudiar módulos sobre un anillo. El lema de Nakayama es quizás el ejemplo más conocido de esto. Aunque todos los elementos de J ( R ) son necesariamente cuasirregulares , no todos los elementos cuasirregulares son necesariamente miembros de J ( R ). [5]
- Si bien no todos los elementos cuasirregulares están en , se puede demostrar que y está ensi y sólo si xy es quasiregular izquierda para toda x en R . ( Lam 2001 , pág.50)
- es el conjunto de elementos x ∈ R tal que cada elemento de 1 + RxR es una unidad:. De echo,está en el radical de Jacobson si y solo si 1 + xy es invertible para cualquier, si y solo si 1+ yx es invertible para cualquier. Esto significa que xy e yx se comportan de manera similar a un elemento nilpotente z con z n +1 = 0 y.
Para anillos sin unidad es posible que R = J ( R ); sin embargo, la ecuación J ( R / J ( R )) = {0} aún se mantiene. Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de J ( R ) para anillos sin unidad ( Lam 2001 , p. 63):
- La noción de cuasirregularidad de izquierda se puede generalizar de la siguiente manera. Llame a un elemento de una en R izquierda generalizarse quasiregular si existe c en R tal que c + un - ca = 0. Entonces J ( R ) se compone de cada elemento de una para la que RA se deja quasiregular generalizada para todo r en R . Se puede comprobar que esta definición coincide con la definición cuasirregular anterior para anillos con unidad.
- Para un anillo sin unidad, la definición de un módulo simple izquierdo M se modifica agregando la condición de que R • M ≠ 0. Con este entendimiento, J ( R ) puede definirse como la intersección de todos los aniquiladores de módulos R simples izquierdos , o simplemente R si no hay módulos R simples a la izquierda . Existen anillos sin unidad sin módulos simples, en cuyo caso R = J ( R ), y el anillo se llama anillo radical . Al usar la caracterización cuasirregular generalizada del radical, está claro que si uno encuentra un anillo con J ( R ) distinto de cero, entonces J ( R ) es un anillo radical cuando se considera como un anillo sin unidad.
Ejemplos de
Ejemplos conmutativos
- Por el anillo de los enteros su radical de Jacobson es el ideal cero, por lo que , porque viene dado por la intersección de todo ideal generado por un número primo . Desde, y estamos tomando una intersección infinita en la que no hay elementos comunes además entre todos los ideales máximos, tenemos el cálculo.
- Para un anillo local el radical de Jacobson es simplemente . Este es un caso importante debido a su uso al aplicar el lema de Nakayama. En particular, implica que si tenemos un paquete de vectores algebraicos sobre un esquema o variedad algebraica , y fijamos una base de por algún momento , luego esta base se eleva a un conjunto de generadores para todas las secciones para algún barrio de .
- Si es un campo y es un anillo de serie de poder formal , entonces consiste en aquellas series de potencias cuyo término constante es cero, es decir, la serie de potencias en el ideal .
- En el caso de un anillo Artin , como, el radical de Jacobson es .
- El ejemplo anterior podría extenderse al anillo. , donación .
- El radical del anillo de Jacobson Z / 12 Z es 6 Z / 12 Z , que es la intersección de los ideales maximales 2 Z / 12 Z y 3 Z / 12 Z .
- Considere el anillo donde el segundo es la localización de por el ideal principal . Entonces, el radical de Jacobson es trivial porque los ideales máximos son generados por un elemento de la forma por .
Ejemplos no conmutativos
- Los anillos para los que J ( R ) es {0} se denominan anillos semiprimitivos o, a veces, "anillos semisimple de Jacobson". El radical de Jacobson de cualquier campo , cualquier anillo regular de von Neumann y cualquier anillo primitivo izquierdo o derecho es {0}. El radical de Jacobson de los enteros es {0}.
- Si K es un campo y R es el anillo de todas las matrices triangulares superiores n- por- n con entradas en K , entonces J ( R ) consta de todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
- Comience con un carcaj finito, acíclico Γ y un campo K y considere el álgebra de carcaj K Γ (como se describe en el artículo Quiver ). El radical de Jacobson de este anillo es generado por todos los caminos en Γ de longitud ≥ 1.
- El radical de Jacobson de un álgebra C * es {0}. Esto se sigue del teorema de Gelfand-Naimark y del hecho de que para un álgebra C *, una representación topológicamente irreducible * en un espacio de Hilbert es algebraicamente irreducible, de modo que su núcleo es un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (ver espectro de un C * -álgebra ).
Propiedades
- Si R es unital y no es el anillo trivial {0}, el radical de Jacobson siempre es distinto de R, ya que los anillos con unidad siempre tienen ideales rectos máximos . Sin embargo, algunos teoremas y conjeturas importantes en la teoría de anillos consideran el caso cuando J ( R ) = R - "Si R es un anillo nulo (es decir, cada uno de sus elementos es nilpotente), el anillo polinomial R [ x ] es igual a ¿Es Jacobson radical? " es equivalente a la conjetura abierta de Köthe . ( Smoktunowicz 2006 , pág.260, §5)
- Para cualquier ideales I que figura en J ( R ),
- J ( R / I ) = J ( R ) / I . [6]
- En particular, el radical Jacobson del anillo R / J ( R ) es cero. Los anillos con cero radicales de Jacobson se denominan anillos semiprimitivos .
- Un anillo es semisimple si y solo si es Artinian y su radical Jacobson es cero.
- Si f : R → S es un homomorfismo de anillo sobreyectivo , entonces f (J ( R )) ⊆ J ( S ).
- Si R es un anillo con unidad y M es un tipo finito izquierda R - módulo con J ( R ) M = M , entonces M = 0 ( el lema de Nakayama ).
- J ( R ) contiene todos los elementos centrales nilpotentes, pero no contiene elementos idempotentes excepto 0.
- J ( R ) contiene todos los ideales nil de R . Si R es Artiniano izquierdo o derecho , entonces J ( R ) es un ideal nilpotente . En realidad, esto se puede fortalecer: si es una serie de composición para el módulo R derecho R (es seguro que tal serie existirá si R es artiniano derecho, y hay una serie de composición izquierda similar si R es artiniano izquierdo), entonces[a]Sin embargo, tenga en cuenta que, en general, el radical de Jacobson no tiene por qué consistir únicamente en los elementos nilpotentes del anillo.
- Si R es conmutativo y finitamente generado como un álgebra sobre ya sea un campo o Z , entonces J ( R ) es igual a la nilradical de R .
- El radical de Jacobson de un anillo (unital) es su ideal superfluo más grande a la derecha (equivalentemente, a la izquierda).
Ver también
- Subgrupo Frattini
- Nilradical
- Radical de un módulo
- Radical de un ideal
Notas
- ^ (Prueba: Dado que los factoresson simples módulos R rectos, la multiplicación por la derecha por cualquier elemento de J ( R ) aniquila estos factores. En otras palabras, De dóndeEn consecuencia, la inducción sobre i muestra que todos los enteros no negativos i y u (para los cuales lo siguiente tiene sentido) satisfacenAl aplicar esto a u = i = k se obtiene el resultado).
- ^ "Sección 10.18 (0AMD): El radical de Jacobson de un anillo: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de diciembre de 2020 .
- ↑ a b c Isaacs , 1994 , p. 182.
- ^ Isaacs 1994 , Problema 12.5, p. 173.
- ^ Isaacs 1994 , Corolario 13.4, p. 180.
- ↑ a b Isaacs , 1994 , p. 181.
- ^ Lam (2001 , § 4, Prop. 4.6)
Referencias
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Rings and Categories of Modules , Graduate Texts in Mathematics , 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
- Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., págs. Ix + 128, MR 0242802
- Bourbaki, N. Éléments de mathématique .
- Herstein, IN (1994) [1968], Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs, 15 , Washington, DC: Asociación Matemática de América , págs. Xii + 202, ISBN 0-88385-015-X, Señor 1449137Reimpresión del original de 1968; Con epílogo de Lance W. Small
- Isaacs, IM (1994), Álgebra: un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Jacobson, Nathan (1945), "The radical and semi-simplicity for arbitrary rings", American Journal of Mathematics , 67 : 300–320, doi : 10.2307 / 2371731 , ISSN 0002-9327 , MR 0012271
- Lam, TY (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, 131 (2 ed.), Springer-Verlag, pp. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, Señor 1838439
- Pierce, Richard S. (1982), Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas, 88 , Springer-Verlag, págs. Xii + 436 , ISBN 0-387-90693-2, MR 0674652 Estudios de Historia de la Ciencia Moderna, 9
- Smoktunowicz, Agata (2006), "Algunos resultados en la teoría de anillos no conmutativos", Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (PDF) , Sociedad Matemática Europea , págs. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, Señor 2275597
enlaces externos
- Ejemplo intuitivo de un radical de Jacobson