constante de levy

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En matemáticas , la constante de Lévy (a veces conocida como la constante de Khinchin-Lévy ) se presenta en una expresión para el comportamiento asintótico de los denominadores de los convergentes de fracciones continuas . ^[1] En 1935, el matemático soviético Aleksandr Khinchin demostró ^[2] que los denominadores q _n de los convergentes de las expansiones en fracciones continuas de casi todos los números reales satisfacen

Poco después, en 1936, el matemático francés Paul Lévy encontró ^[3] la expresión explícita de la constante, a saber

El término "constante de Lévy" se usa a veces para referirse a (el logaritmo de la expresión anterior), que es aproximadamente igual a 1.1865691104... El valor se deriva de la expectativa asintótica del logaritmo de la razón de los denominadores sucesivos, usando el Gauss-Kuzmin distribucion _ En particular, la relación tiene la función de densidad asintótica${\ estilo de visualización \ pi ^ {2}/(12 \ ln 2)}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z(z+1)\ln(2)}}}$

para y cero en caso contrario. Esto da la constante de Lévy como${\ estilo de visualización z \ geq 1}$

${\displaystyle \beta =\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln z}{z(z+1)\ln 2}}dz=\int _{0}^{1}{ \frac {\ln z^{-1}}{(z+1)\ln 2}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}}$.

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