En matemáticas, una coalgebra de Lie es la estructura dual de un álgebra de Lie .
En dimensiones finitas, estos son objetos duales: el espacio vectorial dual de un álgebra de Lie tiene naturalmente la estructura de una coalgebra de Lie, y viceversa.
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un campo k equipado con un mapeo linealde E al producto exterior de E consigo mismo. Es posible extender d únicamente a una derivación graduada (esto significa que, para cualquier a , b ∈ E que sean elementos homogéneos ,) de grado 1 en el álgebra exterior de E :
Entonces se dice que el par ( E , d ) es una coalgebra de Lie si d 2 = 0, es decir, si los componentes graduados del álgebra exterior con derivaciónformar un complejo cochain :
Relación con el complejo de Rham
Así como el álgebra exterior (y el álgebra tensorial) de campos vectoriales en una variedad forman un álgebra de Lie (sobre el campo base K ), el complejo de formas diferenciales de De Rham en una variedad forma una coalgebra de Lie (sobre el campo base K ). Además, existe un emparejamiento entre campos vectoriales y formas diferenciales.
Sin embargo, la situación es más sutil: el corchete de Lie no es lineal sobre el álgebra de funciones suaves (el error es la derivada de Lie ), ni la derivada exterior :(es una derivación, no sobre funciones lineales): no son tensores . No son sobre funciones lineales, pero se comportan de una manera consistente, lo que no es captado simplemente por la noción de álgebra de Lie y coalgebra de Lie.
Además, en el complejo de Rham, la derivación no solo se define para , pero también se define para .
El álgebra de Lie en el dual
Una estructura de álgebra de Lie en un espacio vectorial es un mapa que es simétrica sesgada y satisface la identidad de Jacobi. Equivalentemente, un mapaque satisface la identidad de Jacobi .
Dualmente, una estructura de coalgebra de Lie en un espacio vectorial E es un mapa lineal que es antisimétrico (esto significa que satisface , dónde es el cambio canónico ) y satisface la llamada condición de ciclo (también conocida como regla de co-Leibniz )
- .
Debido a la condición de antisimetría, el mapa también se puede escribir como un mapa .
El dual del corchete de Lie de un álgebra de Lie produce un mapa (el coconmutador)
donde el isomorfismo se mantiene en dimensión finita; dualmente para la multiplicación dual de Lie . En este contexto, la identidad de Jacobi corresponde a la condición de ciclo.
Más explícitamente, sea E una coalgebra de Lie sobre un campo de característica ni 2 ni 3 . El espacio dual E * tiene la estructura de un soporte definido por
- α ([ x , y ]) = d α ( x ∧ y ), para todo α ∈ E y x , y ∈ E * .
Demostramos que esto dota a E * con un corchete de Lie. Basta comprobar la identidad de Jacobi . Para cualquier x , y , z ∈ E * y α ∈ E ,
donde el último paso se sigue de la identificación estándar del producto dual de una cuña con el producto de la cuña de los duales. Finalmente, esto da
Dado que d 2 = 0, se sigue que
- , para cualquier α, x , y y z .
Así, por el isomorfismo de doble dualidad (más precisamente, por el monomorfismo de doble dualidad, ya que el espacio vectorial no necesita ser de dimensión finita), se satisface la identidad de Jacobi.
En particular, tenga en cuenta que esta prueba demuestra que la condición de ciclo d 2 = 0 es en cierto sentido dual a la identidad de Jacobi.
Referencias
- Michaelis, Walter (1980), "Lie coalgebras", Advances in Mathematics , 38 (1): 1-54, doi : 10.1016 / 0001-8708 (80) 90056-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0594993