Isomorfismo de grupo

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se llaman isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Dados dos grupos y un isomorfismo de grupo de a es un homomorfismo de grupo biyectivo de a Enunciado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva tal que para todo y en él se cumple que ${\ estilo de visualización (G, *)}$ ${\ estilo de visualización (H, \ punto),}$ ${\ estilo de visualización (G, *)}$ ${\ estilo de visualización (H, \ punto)}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ estilo de visualización H.}$ ${\ estilo de visualización f: G \ a H}$ ${\ estilo de visualización u}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle G}$

Los dos grupos y son isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto esta escrito: ${\ estilo de visualización (G, *)}$ ${\ estilo de visualización (H, \ punto)}$

A menudo, se pueden usar notaciones más cortas y simples. Cuando las operaciones de grupo relevantes no son ambiguas, se omiten y se escribe:

A veces, incluso se puede escribir simplemente = Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos. ${\ Displaystyle G}$ ${\ estilo de visualización H.}$

Por el contrario, dado un grupo un conjunto y una biyección podemos hacer un grupo definiendo ${\ estilo de visualización (G, *),}$ ${\ estilo de visualización H,}$ ${\ estilo de visualización f: G \ a H,}$ ${\ estilo de visualización H}$ ${\ estilo de visualización (H, \ punto)}$