Función de verosimilitud

La función de verosimilitud (a menudo llamada simplemente verosimilitud ) describe la probabilidad conjunta de los datos observados como una función de los parámetros del modelo estadístico elegido . ^[1] Para cada valor de parámetro específico en el espacio de parámetros , la función de verosimilitud asigna una predicción probabilística a los datos observados . Dado que es esencialmente el producto de las densidades de muestreo , la probabilidad generalmente encapsula tanto el proceso de generación de datos como el mecanismo de datos faltantes que produjo la muestra observada.${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle p (y | \ theta)}$${\ Displaystyle y}$

Para enfatizar que la probabilidad no es un pdf de los parámetros, a menudo se escribe como . ^[a] En la estimación de máxima verosimilitud , la función de verosimilitud se maximiza para obtener el valor específico que es "más probable" que haya generado los datos observados. Mientras tanto, en la estadística bayesiana , la función de verosimilitud sirve como conducto a través del cual la información de la muestra influye en la probabilidad posterior del parámetro. ^[2]${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ theta | y)}$${\ Displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ operatorname {argmax} _ {\ theta \ in \ Theta} {\ mathcal {L}} (\ theta | y)}$${\ Displaystyle p (\ theta | y)}$

El caso para el uso de la verosimilitud fue presentado por primera vez por RA Fisher , ^[3] quien creía que era un marco autónomo para el modelado estadístico y la inferencia. Más tarde, Barnard y Birnbaum dirigieron una escuela de pensamiento que defendía el principio de probabilidad , postulando que toda la información relevante para la inferencia está contenida en la función de probabilidad. ^{[4] [5]} Pero tanto en la estadística frecuentista como en la bayesiana , la función de verosimilitud juega un papel fundamental. ^[6]

La función de verosimilitud generalmente se define de manera diferente para distribuciones de probabilidad discretas y continuas . También es posible una definición general, como se analiza a continuación.

Sea una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad en función de un parámetro . Entonces la función${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ theta}$

Figura 1. La función de probabilidad ( ) para la probabilidad de que una moneda caiga cara arriba (sin conocimiento previo de la equidad de la moneda), dado que hemos observado HH.${\ Displaystyle p _ {\ text {H}} ^ {2}}$

Figura 2. La función de probabilidad ( ) para la probabilidad de que una moneda caiga cara arriba (sin conocimiento previo de la equidad de la moneda), dado que hemos observado HHT.${\ Displaystyle p _ {\ text {H}} ^ {2} (1-p _ {\ text {H}})}$