En estadística , suponga que se nos han proporcionado algunos datos y estamos construyendo un modelo estadístico de esos datos. La probabilidad relativa compara las plausibilidades relativas de diferentes modelos candidatos o de diferentes valores de un parámetro de un solo modelo.
Probabilidad relativa de los valores de los parámetros
Supongamos que se nos dan algunos datos x para los que tenemos un modelo estadístico con el parámetro θ . Suponga que la estimación de máxima verosimilitud para θ es. Plausibilidades relativa de otros theta valores se pueden encontrar mediante la comparación de las probabilidades de los otros valores con la probabilidad de. La probabilidad relativa de θ se define como [1] [2] [3] [4] [5]
dónde denota la función de verosimilitud. Por lo tanto, la probabilidad relativa es la razón de verosimilitud con denominador fijo.
La función
es la función de probabilidad relativa .
Región de probabilidad
Una región de probabilidad es el conjunto de todos los valores de θ cuya probabilidad relativa es mayor o igual que un umbral dado. En términos de porcentajes, una región de probabilidad de p % para θ se define como. [1] [3] [6]
Si θ es un único parámetro real, una región de probabilidad p % generalmente comprenderá un intervalo de valores reales. Si la región comprende un intervalo, entonces se denomina intervalo de probabilidad . [1] [3] [7]
Los intervalos de verosimilitud, y más generalmente las regiones de verosimilitud, se utilizan para la estimación de intervalo dentro de las estadísticas basadas en verosimilitud (estadísticas "verosimilistas"): son similares a los intervalos de confianza en las estadísticas frecuentistas e intervalos creíbles en las estadísticas bayesianas. Los intervalos de probabilidad se interpretan directamente en términos de probabilidad relativa, no en términos de probabilidad de cobertura (frecuentismo) o probabilidad posterior (bayesianismo).
Dado un modelo, los intervalos de probabilidad se pueden comparar con los intervalos de confianza. Si θ es un único parámetro real, entonces, bajo ciertas condiciones, un intervalo de probabilidad del 14,65% (probabilidad de aproximadamente 1: 7) para θ será lo mismo que un intervalo de confianza del 95% (probabilidad de cobertura 19/20). [1] [6] En una formulación ligeramente diferente adecuadas para el uso de las verosimilitudes log (véase el teorema Wilks' ), la estadística de prueba es el doble de la diferencia en el diario de probabilidades y la distribución de probabilidad de la estadística de prueba es aproximadamente un chi- distribución al cuadrado con grados de libertad (gl) igual a la diferencia en gl-s entre los dos modelos (por lo tanto, el intervalo de verosimilitud e −2 es el mismo que el intervalo de confianza de 0.954; asumiendo que la diferencia en gl-s es 1 ). [6] [7]
Probabilidad relativa de modelos
La definición de probabilidad relativa se puede generalizar para comparar diferentes modelos estadísticos . Esta generalización se basa en AIC (criterio de información de Akaike) o, a veces, AICc (criterio de información de Akaike con corrección).
Suponga que para algunos datos dados tenemos dos modelos estadísticos, M 1 y M 2 . Suponga también que AIC ( M 1 ) ≤ AIC ( M 2 ) . Entonces, la probabilidad relativa de M 2 con respecto a M 1 se define como sigue. [8]
Para ver que esta es una generalización de la definición anterior, suponga que tenemos algún modelo M con un parámetro (posiblemente multivariado) θ . Luego, para cualquier θ , establezca M 2 = M ( θ ) , y también establezca M 1 = M () . La definición general ahora da el mismo resultado que la definición anterior.
Ver también
Notas
- ↑ a b c d Kalbfleisch, JG (1985). Probabilidad e inferencia estadística . Saltador. §9.3..
- ^ Azzalini, A. (1996). Inferencia estadística: basada en la probabilidad . Chapman y Hall . §1.4.2. ISBN 9780412606502..
- ^ a b c Sprott, DA (2000). Inferencia estadística en ciencia . Saltador. Cap. 2..
- ^ Davison, AC (2008). Modelos estadísticos . Prensa de la Universidad de Cambridge . §4.1.2..
- ^ Held, L .; Sabanés Bové, DS (2014). Inferencia estadística aplicada: probabilidad y Bayes . Saltador. §2.1..
- ^ a b c Rossi, RJ (2018), Estadística matemática , Wiley , p. 267
- ^ a b Hudson, DJ (1971). "Estimación de intervalo a partir de la función de verosimilitud". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 33 : 256-262..
- ^ Burnham, KP; Anderson, DR (2002), Selección de modelos e inferencia multimodelo: un enfoque práctico de la teoría de la información , Springer, §2.8.