Distribución chi-cuadrado

Distribución de probabilidad y caso especial de distribución gamma

Este artículo trata sobre las matemáticas de la distribución chi-cuadrado. Para conocer sus usos en estadística, consulte la prueba de chi-cuadrado . Para el grupo de música, consulte Chi2 (banda) .

chi-cuadrado

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Notación	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\;}$ o ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
Parámetros	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}~~}$ (conocido como "grados de libertad")
Apoyo	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$si , de lo contrario${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Significar	${\displaystyle k}$
Mediana	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Modo	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Diferencia	${\displaystyle 2k\;}$
Oblicuidad	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Ex. curtosis	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Entropía	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$[1]
PGF	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

En teoría de la probabilidad y estadísticas , la distribución de chi-cuadrado (también chi-cuadrado o χ ² distribución t ) con k grados de libertad es la distribución de una suma de los cuadrados de k independientes normales estándar variables aleatorias. La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más utilizadas en la estadística inferencial , especialmente en la prueba de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza .^{[2] [3] [4] [5]} Esta distribución a veces se denomina distribución de chi-cuadrado central , un caso especial de la distribución de chi-cuadrado no central más general.

La distribución de chi-cuadrado se utiliza en las pruebas de chi-cuadrado comunes para determinar la bondad de ajuste de una distribución observada a una teórica, la independencia de dos criterios de clasificación de datos cualitativos y en la estimación del intervalo de confianza para una desviación estándar poblacional de un distribución normal a partir de una desviación estándar muestral. Muchas otras pruebas estadísticas también utilizan esta distribución, como el análisis de varianza por rangos de Friedman .

Definiciones

Si Z ₁ , ..., Z _k son independientes , estándares normales de variables aleatorias, entonces la suma de sus cuadrados,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

se distribuye según la distribución chi-cuadrado con k grados de libertad. Esto generalmente se denota como

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

La distribución de chi-cuadrado tiene un parámetro: un entero positivo k que especifica el número de grados de libertad (el número de variables aleatorias que se suman, Z _i s).

Introducción

La distribución de chi-cuadrado se utiliza principalmente en las pruebas de hipótesis y, en menor medida, para los intervalos de confianza para la varianza de la población cuando la distribución subyacente es normal. A diferencia de distribuciones más conocidas, como la distribución normal y la distribución exponencial , la distribución chi-cuadrado no se aplica con tanta frecuencia en el modelado directo de fenómenos naturales. Surge en las siguientes pruebas de hipótesis, entre otras:

• Prueba de chi-cuadrado de independencia en tablas de contingencia
• Prueba de chi-cuadrado de bondad de ajuste de datos observados a distribuciones hipotéticas
• Prueba de razón de verosimilitud para modelos anidados
• Prueba de rango logarítmico en el análisis de supervivencia
• Prueba de Cochran-Mantel-Haenszel para tablas de contingencia estratificadas

También es un componente de la definición de la distribución t y el F-distribución utilizado en pruebas t, análisis de varianza, y el análisis de regresión.

La razón principal por la cual la distribución de chi-cuadrado se usa ampliamente en la prueba de hipótesis es su relación con la distribución normal. Muchas pruebas de hipótesis utilizan un estadístico de prueba, como el estadístico t en una prueba t. Para estas pruebas de hipótesis, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n, la distribución muestral del estadístico de prueba se aproxima a la distribución normal ( teorema del límite central). Debido a que el estadístico de prueba (como t) tiene una distribución asintóticamente normal, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande, la distribución utilizada para la prueba de hipótesis puede aproximarse a una distribución normal. Probar hipótesis utilizando una distribución normal se comprende bien y es relativamente fácil. La distribución chi-cuadrado más simple es el cuadrado de una distribución normal estándar. Entonces, siempre que se pueda usar una distribución normal para una prueba de hipótesis, se podría usar una distribución de chi-cuadrado.

Supongamos que es una variable aleatoria en la muestra de la distribución normal estándar, donde la media es y la varianza es : . Ahora, considere la variable aleatoria . La distribución de la variable aleatoria es un ejemplo de una distribución de chi-cuadrado:${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle Q=Z^{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}.}$El subíndice 1 indica que esta distribución de chi-cuadrado particular se construye a partir de solo una distribución normal estándar. Se dice que una distribución de chi-cuadrado construida elevando al cuadrado una única distribución normal estándar tiene 1 grado de libertad. Por lo tanto, a medida que aumenta el tamaño de la muestra para una prueba de hipótesis, la distribución del estadístico de prueba se aproxima a una distribución normal. Así como los valores extremos de la distribución normal tienen baja probabilidad (y dan valores p pequeños), los valores extremos de la distribución chi-cuadrado tienen baja probabilidad.

Una razón adicional por la que se usa ampliamente la distribución de chi-cuadrado es que aparece como la distribución muestral grande de las pruebas de razón de verosimilitud generalizada (LRT). ^{[6] Los} LRT tienen varias propiedades deseables; en particular, las LRT simples comúnmente proporcionan el poder más alto para rechazar la hipótesis nula ( lema de Neyman-Pearson ) y esto también conduce a propiedades de optimalidad de las LRT generalizadas. Sin embargo, las aproximaciones normal y chi-cuadrado solo son válidas asintóticamente. Por esta razón, es preferible utilizar la distribución t en lugar de la aproximación normal o la aproximación de chi-cuadrado para un tamaño de muestra pequeño. De manera similar, en los análisis de tablas de contingencia, la aproximación de chi-cuadrado será pobre para un tamaño de muestra pequeño, y es preferible usarPrueba exacta de Fisher . Ramsey muestra que la prueba binomial exacta es siempre más poderosa que la aproximación normal. ^[7]

Lancaster muestra las conexiones entre las distribuciones binomial, normal y chi-cuadrado, de la siguiente manera. ^[8] De Moivre y Laplace establecieron que una distribución binomial podría aproximarse a una distribución normal. Específicamente mostraron la normalidad asintótica de la variable aleatoria

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

donde es el número observado de éxitos en los ensayos, donde es la probabilidad de éxito , y .${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Al cuadrar ambos lados de la ecuación se obtiene

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

Utilizando , y , esta ecuación puede ser reescrita como${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}}$

La expresión de la derecha tiene la forma que Karl Pearson generalizaría a la forma:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

dónde

${\displaystyle \chi ^{2}}$= Estadístico de prueba acumulativo de Pearson, que se aproxima asintóticamente a una distribución.${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle O_{i}}$= el número de observaciones de tipo .${\displaystyle i}$

${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$= la frecuencia esperada (teórica) de tipo , afirmada por la hipótesis nula de que la fracción de tipo en la población es${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle n}$ = el número de celdas de la tabla.

En el caso de un resultado binomial (lanzar una moneda al aire), la distribución binomial puede aproximarse mediante una distribución normal (para ${\displaystyle n}$). Debido a que el cuadrado de una distribución normal estándar es la distribución de chi-cuadrado con un grado de libertad, la probabilidad de un resultado como 1 cara en 10 intentos se puede aproximar usando la distribución normal directamente o la distribución de chi-cuadrado para la diferencia cuadrada normalizada entre el valor observado y el esperado. Sin embargo, muchos problemas involucran más de los dos posibles resultados de un binomio y, en cambio, requieren 3 o más categorías, lo que conduce a la distribución multinomial. Así como de Moivre y Laplace buscaron y encontraron la aproximación normal al binomio, Pearson buscó y encontró una aproximación normal multivariada degenerada a la distribución multinomial (los números en cada categoría se suman al tamaño total de la muestra, que se considera fijo) .Pearson mostró que la distribución de chi-cuadrado surgió de una aproximación normal multivariada a la distribución multinomial, teniendo en cuenta cuidadosamente la dependencia estadística (correlaciones negativas) entre el número de observaciones en diferentes categorías.^[8]

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución de chi-cuadrado es

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

donde denota la función gamma , que tiene valores de forma cerrada para enteros .${\textstyle \Gamma (k/2)}$ k {\displaystyle k}

Para las derivaciones del pdf en los casos de uno, dos y grados de libertad, consulte Pruebas relacionadas con la distribución de chi-cuadrado .${\displaystyle k}$

Función de distribución acumulativa

Chernoff límite para el CDF y la cola (1-CDF) de una variable aleatoria de chi-cuadrado con diez grados de libertad ( = 10)${\displaystyle k}$

Su función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

donde es la función gamma incompleta inferior y es la función gamma regularizada .${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

En un caso especial de = 2, esta función tiene la forma simple:${\displaystyle k}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

que se puede derivar fácilmente integrando directamente. La recurrencia entera de la función gamma hace que sea fácil de calcular para otros pequeños, pares .${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$${\displaystyle F(x;\,2)}$${\displaystyle k}$

Las tablas de la función de distribución acumulativa de chi-cuadrado están ampliamente disponibles y la función se incluye en muchas hojas de cálculo y en todos los paquetes estadísticos .

Dejando , se pueden obtener los límites de Chernoff en las colas inferior y superior de la CDF. ^[9] Para los casos en los que (que incluyen todos los casos en los que este CDF es menos de la mitad):${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

La cola destinada a los casos en que , de manera similar, es${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Para otra aproximación del CDF modelado a partir del cubo de un gaussiano, consulte Distribución de chi-cuadrado no central .

Propiedades

Suma de cuadrados de variables aleatorias normales independientes distribuidas de forma idéntica menos su media

Artículo principal: teorema de Cochran

Si Z ₁ , ..., Z _k son independientes de distribución idéntica (iid), variables aleatorias normales estándar , entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\overline {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}.}$

Aditividad

De la definición de la distribución de chi-cuadrado se deduce que la suma de las variables de chi-cuadrado independientes también tiene una distribución de chi-cuadrado. En concreto, si son variables de chi-cuadrado independientes con , grados de libertad, respectivamente, entonces es chi-cuadrado distribuido con grados de libertad.${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+...+X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+...+k_{n}}$

Media de la muestra

La media muestral de las variables iid chi-cuadrado de grado se distribuye de acuerdo con una distribución gamma con parámetros de forma y escala :${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

Asintóticamente , dado que para un parámetro de escala que va al infinito, una distribución Gamma converge hacia una distribución normal con expectativa y varianza , la media muestral converge hacia:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

Tenga en cuenta que habríamos obtenido el mismo resultado invocando en su lugar el teorema del límite central , notando que para cada variable de chi-cuadrado de grado la expectativa es y su varianza (y por lo tanto la varianza de la media muestral es ).${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}}$

Entropía

La entropía diferencial está dada por

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left[{\frac {k}{2}}\right],}$

donde ψ ( x ) es la función Digamma .

La distribución de chi-cuadrado es la distribución de probabilidad de entropía máxima para una variable aleatoria para la cual y son fijos. Dado que el chi-cuadrado pertenece a la familia de distribuciones gamma, esto se puede derivar sustituyendo los valores apropiados en la Expectativa del momento logarítmico de gamma . Para obtener una derivación de principios más básicos, consulte la derivación en la función generadora de momentos del estadístico suficiente .${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Momentos no centrales

Los momentos alrededor de cero de una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad están dados por ^{[10] [11]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.}$

Acumulantes

Los acumulados se obtienen fácilmente mediante una expansión (formal) en serie de potencias del logaritmo de la función característica:

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

Concentración

La distribución chi-cuadrado exhibe una fuerte concentración alrededor de su media. Los límites estándar de Laurent-Massart ^[12] son:

${\displaystyle \operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)}$

Propiedades asintóticas

Fórmula aproximada para la mediana (de la transformación de Wilson-Hilferty) comparada con el cuantil numérico (arriba); y diferencia (azul) y diferencia relativa (rojo) entre el cuantil numérico y la fórmula aproximada (abajo). Para la distribución chi-cuadrado, solo los números enteros positivos de grados de libertad (círculos) son significativos.

Según el teorema del límite central , debido a que la distribución de chi-cuadrado es la suma de variables aleatorias independientes con media y varianza finitas, converge a una distribución normal para grandes . Para muchos propósitos prácticos, la distribución está lo suficientemente cerca de una distribución normal para que se ignore la diferencia. ^[13] Específicamente, si , entonces as tiende a infinito, la distribución de tiende a una distribución normal estándar. Sin embargo, la convergencia es lenta como la asimetría es y el exceso de curtosis es .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

La distribución muestral de converge a la normalidad mucho más rápido que la distribución muestral de , ^[14] ya que el logaritmo elimina gran parte de la asimetría. ^[15] Otras funciones de la distribución chi-cuadrado convergen más rápidamente a una distribución normal. Algunos ejemplos son:${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

• Si entonces tiene una distribución aproximadamente normal con media y varianza unitaria (1922, por RA Fisher , ver (18.23), p. 426 de Johnson. ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Si entonces tiene una distribución aproximadamente normal con media y varianza ^[16] Esto se conoce como la transformación de Wilson-Hilferty, véase (18.24), pág. 426 de Johnson. ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Esta transformación de normalización conduce directamente a la aproximación de la mediana comúnmente utilizada mediante la transformación inversa de la media, que también es la mediana, de la distribución normal.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

Distribuciones relacionadas

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• Como , ( distribución normal )${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$( distribución chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad )${\displaystyle \lambda =0}$
• Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• Como caso especial, si entonces tiene la distribución chi-cuadrado${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$(La norma al cuadrado de k variables estándar distribuidas normalmente es una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad )
• Si y , entonces . ( distribución gamma )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• Si entonces ( distribución chi )${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• Si , entonces es una distribución exponencial . (Consulte distribución gamma para obtener más información).${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2)}$
• Si , entonces es una distribución de Erlang .${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2k)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• Si ( distribución de Rayleigh ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• Si ( distribución de Maxwell ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,}$
• Si entonces ( distribución de chi-cuadrado inverso )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi ^{2}(\nu )\,}$
• La distribución de chi-cuadrado es un caso especial de distribución de Pearson tipo III
• Si y son independientes, entonces ( distribución beta )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,}$${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• Si ( distribución uniforme ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• Si entonces${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,}$
• Si sigue la distribución normal generalizada (versión 1) con parámetros, entonces ^[17]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi ^{2}\left({\frac {2n}{\beta }}\right)\,}$
• La distribución de chi-cuadrado es una transformación de la distribución de Pareto.
• La distribución t de Student es una transformación de la distribución de chi-cuadrado
• La distribución t de Student se puede obtener a partir de la distribución de chi-cuadrado y la distribución normal
• La distribución beta no central se puede obtener como una transformación de la distribución de chi-cuadrado y la distribución de chi-cuadrado no central
• La distribución t no central se puede obtener a partir de la distribución normal y la distribución de chi-cuadrado

Una variable de chi-cuadrado con grados de libertad se define como la suma de los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar independientes .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Si es un vector aleatorio gaussiano -dimensional con vector medio y matriz de covarianza de rango , entonces chi-cuadrado se distribuye con grados de libertad.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

La suma de los cuadrados de las variables gaussianas de varianza unitaria estadísticamente independientes que no tienen media cero produce una generalización de la distribución de chi-cuadrado llamada distribución de chi-cuadrado no central .

Si es un vector de iid variables aleatorias normales estándar y es un simétrica , matriz idempotente con rango , entonces la forma cuadrática es chi-cuadrado distribuye con grados de libertad.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k-n}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle k-n}$

Si es una matriz de covarianza semidefinita positiva con entradas diagonales estrictamente positivas, entonces for y un vector aleatorio independiente de tal que y sostiene que${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.}$^[15]

La distribución de chi-cuadrado también está naturalmente relacionada con otras distribuciones que surgen de la gaussiana. En particular,

• ${\displaystyle Y}$tiene una distribución F , si , dónde y son estadísticamente independientes.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$
• Si y son estadísticamente independientes, entonces . Si y no son independientes, entonces no se distribuye chi-cuadrado.${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

Generalizaciones

La distribución de chi-cuadrado se obtiene como la suma de los cuadrados de k variables aleatorias gaussianas independientes, de media cero y de varianza unitaria. Las generalizaciones de esta distribución se pueden obtener sumando los cuadrados de otros tipos de variables aleatorias gaussianas. Varias de estas distribuciones se describen a continuación.

Combinación lineal

Si son variables aleatorias de chi cuadrado y , entonces no se conoce una expresión cerrada para la distribución de . Sin embargo, se puede aproximar de manera eficiente utilizando la propiedad de las funciones características de las variables aleatorias de chi-cuadrado. ^[18]${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

Distribuciones de chi-cuadrado

Distribución chi-cuadrado no central

Artículo principal: distribución chi-cuadrado no central

La distribución chi-cuadrado no central se obtiene de la suma de los cuadrados de las variables aleatorias gaussianas independientes que tienen varianza unitaria y medias distintas de cero .

Distribución chi-cuadrado generalizada

Artículo principal: distribución chi-cuadrado generalizada

La distribución chi-cuadrado generalizada se obtiene de la forma cuadrática z′Az donde z es un vector gaussiano de media cero que tiene una matriz de covarianza arbitraria y A es una matriz arbitraria.

Distribuciones gamma, exponenciales y relacionadas

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , ya que se usa la parametrización de la tasa de la distribución gamma (o se usa la parametrización de escala de la distribución gamma) donde k es un número entero.${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)}$

Debido a que la distribución exponencial también es un caso especial de la distribución gamma, también tenemos que si , entonces es una distribución exponencial .${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

La distribución de Erlang también es un caso especial de la distribución gamma y, por lo tanto, también tenemos que si es par , Erlang se distribuye con el parámetro de forma y el parámetro de escala .${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\text{k}}}$${\displaystyle {\text{X}}}$${\displaystyle {\text{k}}/2}$${\displaystyle 1/2}$

Ocurrencia y aplicaciones

La distribución de chi-cuadrado tiene numerosas aplicaciones en estadística inferencial , por ejemplo, en pruebas de chi-cuadrado y en la estimación de varianzas . Entra en el problema de estimar la media de una población distribuida normalmente y el problema de estimar la pendiente de una línea de regresión a través de su papel en la distribución t de Student . Entra en todos los problemas de análisis de varianza a través de su papel en la distribución F , que es la distribución de la razón de dos variables aleatorias chi-cuadrado independientes , cada una dividida por sus respectivos grados de libertad.

A continuación se muestran algunas de las situaciones más comunes en las que la distribución de chi-cuadrado surge de una muestra con distribución gaussiana.

• si son iid variables aleatorias , entonces donde .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• El siguiente cuadro muestra algunas estadísticas basadas en variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de probabilidad relacionadas con la distribución de chi-cuadrado:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

Nombre	Estadística
distribución de chi-cuadrado	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
distribución chi-cuadrado no central	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
distribución de chi	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
distribución de chi no central	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

La distribución de chi-cuadrado también se encuentra a menudo en la resonancia magnética . ^[19]

Métodos computacionales

Tabla de χ ² valores vs p -valores

El valor p es la probabilidad de observar un estadístico de prueba al menos tan extremo en una distribución de chi-cuadrado. En consecuencia, dado que la función de distribución acumulada (CDF) para los grados de libertad apropiados (df) da la probabilidad de haber obtenido un valor menos extremo que este punto, restar el valor de CDF de 1 da el valor p . Un valor p bajo , por debajo del nivel de significancia elegido, indica significancia estadística , es decir, evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. A menudo se usa un nivel de significancia de 0.05 como el punto de corte entre resultados significativos y no significativos.

La siguiente tabla muestra varios valores de p que coinciden con los primeros 10 grados de libertad.${\displaystyle \chi ^{2}}$

Grados de libertad (df)	${\displaystyle \chi ^{2}}$valor [20]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4.61	5,99	9.21	13,82
3	0,35	0,58	1.01	1,42	2,37	3,66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0,71	1.06	1,65	2,20	3.36	4.88	5,99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5.35	7.23	8.56	10,64	12.59	16,81	22.46
7	2.17	2,83	3,82	4.67	6,35	8,38	9.80	12.02	14.07	18.48	24,32
8	2,73	3,49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6,39	8,34	10,66	12.24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4.87	6.18	7.27	9.34	11,78	13.44	15,99	18.31	23.21	29,59
Valor p (probabilidad)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Estos valores se pueden calcular evaluando la función de cuantiles (también conocida como “CDF inversa” o “ICDF”) de la distribución chi-cuadrado; ^{[21] Por} ejemplo, el χ ² ICDF para p = 0.05 y df = 7 produce 2.1673 ≈ 2.17 como en la tabla anterior, notando que 1 - p es el valor p de la tabla.

Historia

Esta distribución fue descrita por primera vez por el estadístico alemán Friedrich Robert Helmert en artículos de 1875-6, ^{[22] [23]} donde calculó la distribución muestral de la varianza muestral de una población normal. Así, en alemán, esto se conocía tradicionalmente como Helmert'sche ("Helmertian") o "distribución Helmert".

La distribución fue redescubierta independientemente por el matemático inglés Karl Pearson en el contexto de bondad de ajuste , para lo cual desarrolló su prueba de chi-cuadrado de Pearson , publicada en 1900, con una tabla de valores calculada publicada en ( Elderton 1902 ), recopilada en ( Pearson 1914 , págs. Xxxi-xxxiii, 26-28, cuadro XII) . El nombre "chi-cuadrado" deriva en última instancia de la abreviatura de Pearson para el exponente en una distribución normal multivariante con la letra griega Chi , escribiendo −½χ ² para lo que aparecería en notación moderna como −½ x ^T Σ ⁻¹ x harv error: no target: CITEREFPearson1914 (help)(Siendo Σ la matriz de covarianza ). ^[24] Sin embargo, la idea de una familia de "distribuciones chi-cuadrado" no se debe a Pearson, sino que surgió como un desarrollo posterior debido a Fisher en la década de 1920. ^[22]

Ver también

• Distribución de Chi
• Teorema de cochran
• F- distribución
• Método de Fisher para combinar pruebas de significancia independientes
• Distribución gamma
• Distribución chi-cuadrado generalizada
• Distribución T- cuadrado de Hotelling
• Distribución chi-cuadrado no central
• Prueba de chi-cuadrado de Pearson
• Estadístico chi cuadrado reducido
• De Student t -distribución
• Distribución lambda de Wilks
• Distribución Wishart

Referencias

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22. Hald , 1998 , págs. 633–692, 27. Distribuciones de muestreo en normalidad.
23. FR Helmert , " Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen ", Zeitschrift für Mathematik und Physik 21 , 1876, págs. 102-219
24. RL Plackett, Karl Pearson y la prueba de chi-cuadrado , International Statistical Review, 1983, 61f. Véase también Jeff Miller, Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas .

Lectura adicional

• Hald, Anders (1998). Una historia de la estadística matemática desde 1750 hasta 1930 . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2.
• Elderton, William Palin (1902). "Tablas para probar la bondad del ajuste de la teoría a la observación" . Biometrika . 1 (2): 155-163. doi : 10.1093 / biomet / 1.2.155 .
• "Distribución Chi-cuadrado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• Usos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: la entrada en Chi cuadrado tiene una breve historia
• Notas del curso sobre pruebas de bondad de ajuste chi-cuadrado de la clase 101 de estadísticas de la Universidad de Yale.
• Demostración de Mathematica que muestra la distribución de muestreo chi-cuadrado de varias estadísticas, por ejemplo, Σ x ², para una población normal
• Algoritmo simple para aproximar CDF y CDF inverso para la distribución chi-cuadrado con una calculadora de bolsillo
• Valores de la distribución Chi-cuadrado