En matemáticas , los cardinales límite son ciertos números cardinales . Un número cardinal λ es un cardinal de límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "alcanzar" λ de otro cardenal mediante operaciones sucesivas repetidas. Estos cardenales a veces se denominan simplemente "cardenales límite" cuando el contexto es claro.
Un λ cardinal es un cardinal de límite fuerte si no se puede alcanzar λ mediante operaciones repetidas de powerset . Esto significa que λ es distinto de cero y, para todo κ < λ , 2 κ < λ . Cada cardinal de límite fuerte es también un cardinal de límite débil, porque κ + ≤ 2 κ para cada κ cardinal , donde κ + denota el cardinal sucesor de κ .
El primer cardenal infinito, ( aleph-nught ), es un cardinal de límite fuerte y, por lo tanto, también un cardinal de límite débil.
Construcciones
Una forma de construir cardenales de límite es a través de la operación de unión: es un cardinal de límite débil, definido como la unión de todos los alephs anteriores a él; y en generalpara cualquier límite ordinal λ es un límite débil cardinal.
La operación ב se puede utilizar para obtener cardinales de límite fuerte. Esta operación es un mapa de ordinales a cardinales definidos como
- (el equinómero ordinal más pequeño con el conjunto de potencias)
- Si λ es un ordinal límite,
El cardenal
es un fuerte límite cardinal de cofinalidad ω. De manera más general, dado cualquier α ordinal , el cardinal
es un cardenal de límite fuerte. Por lo tanto, hay cardenales de límite fuerte arbitrariamente grandes.
Relación con subíndices ordinales
Si se cumple el axioma de elección , cada número cardinal tiene un ordinal inicial . Si ese ordinal inicial es entonces el número cardinal es de la forma para el mismo subíndice ordinal λ . El ordinal λ determina sies un cardinal de límite débil. Porquesi λ es un ordinal sucesor, entoncesno es un límite débil. Por el contrario, si un cardenal κ es un cardenal sucesor, digamos luego Así, en general, es un límite débil cardinal si y solo si λ es cero o un límite ordinal.
Aunque el subíndice ordinal nos dice si un cardinal es un límite débil, no nos dice si un cardinal es un límite fuerte. Por ejemplo, ZFC demuestra que es un cardinal de límite débil, pero ni prueba ni refuta que es un cardenal de límite fuerte (Hrbacek y Jech 1999: 168). La hipótesis del continuo generalizado establece quepor cada infinito cardinal κ . Bajo esta hipótesis, las nociones de cardenales límite fuerte y débil coinciden.
La noción de inaccesibilidad y grandes cardenales.
Lo anterior define una noción de "inaccesibilidad": estamos tratando con casos en los que ya no es suficiente hacer un número finito de iteraciones de las operaciones sucesor y powerset; de ahí la frase "no se puede alcanzar" en las dos definiciones intuitivas anteriores. Pero la "operación de unión" siempre proporciona otra forma de "acceder" a estos cardenales (y de hecho, tal es el caso de los ordinales límite también). Se pueden definir nociones más sólidas de inaccesibilidad utilizando la cofinalidad . Para un límite cardinal débil (respectivamente fuerte) κ, el requisito es que cf ( κ ) = κ (es decir, κ sea regular ) de modo que κ no pueda expresarse como una suma (unión) de menos de κ cardenales más pequeños. Tal cardenal se llama cardenal débilmente (respectivamente fuertemente) inaccesible . Los ejemplos anteriores son ambos cardinales singulares de cofinalidad ω y, por lo tanto, no son inaccesibles.
sería un inaccesible cardinal de ambas "fortalezas" excepto que la definición de inaccesible requiere que sean incontables. La teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) ni siquiera puede probar la consistencia de la existencia de un cardenal inaccesible de cualquier tipo anterior, debido al teorema de incompletitud de Gödel . Más específicamente, si es débilmente inaccesible entonces . Estos forman los primeros en una jerarquía de grandes cardenales .
Ver también
Referencias
- Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introducción a la teoría de conjuntos (3 ed.), ISBN 0-8247-7915-0
- Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (tercer milenio ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-44761-X , ISBN 978-3-540-44085-7
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8
enlaces externos
- http://www.ii.com/math/cardinals/ Tinta infinita en cardenales