En matemáticas, una desigualdad lineal es una desigualdad que involucra una función lineal . Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de desigualdad :. [1] Muestra los datos que no son iguales en forma de gráfico.
- > mayor que
- ≤ menor o igual que
- ≥ mayor o igual a
- ≠ no es igual a
- = igual a
Una desigualdad lineal se ve exactamente como una ecuación lineal , con el signo de desigualdad reemplazando el signo de igualdad.
Desigualdades lineales de números reales
Desigualdades lineales bidimensionales
Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones en dos variables de la forma:
donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto de solución de tal desigualdad se puede representar gráficamente por un semiplano (todos los puntos en un "lado" de una línea fija) en el plano euclidiano. [2] La línea que determina los semiplanos ( ax + by = c ) no se incluye en el conjunto de soluciones cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento simple para determinar qué semiplano está en el conjunto de solución es calcular el valor de ax + by en un punto ( x 0 , y 0 ) que no está en la línea y observar si se satisface o no la desigualdad.
Por ejemplo, [3] para dibujar el conjunto solución de x + 3 y <9, primero se dibuja la línea con la ecuación x + 3 y = 9 como una línea de puntos, para indicar que la línea no está incluida en el conjunto solución ya que la desigualdad es estricta. Luego, elija un punto conveniente que no esté en la línea, como (0,0). Como 0 + 3 (0) = 0 <9, este punto está en el conjunto solución, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano "debajo" de la línea) es el conjunto solución de esta desigualdad lineal.
Desigualdades lineales en dimensiones generales
En R n, las desigualdades lineales son las expresiones que se pueden escribir en la forma
- o
donde f es una forma lineal (también llamada funcional lineal ),y b un número real constante.
Más concretamente, esto puede escribirse como
o
Aquí se llaman las incógnitas, y se llaman coeficientes.
Alternativamente, estos pueden escribirse como
- o
donde g es una función afín . [4]
Es decir
o
Tenga en cuenta que cualquier desigualdad que contenga un signo "mayor que" o "mayor o igual" se puede reescribir con un signo "menor que" o "menor o igual", por lo que no es necesario definir desigualdades lineales con esos signos.
Sistemas de desigualdades lineales
Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de desigualdades lineales en las mismas variables:
Aquí son las incógnitas, son los coeficientes del sistema, y son los términos constantes.
Esto se puede escribir de forma concisa como la desigualdad de la matriz
donde A es una matriz de m × n , x es un vector de variables de columna de n × 1 y b es un vector de constantes de columna de m × 1. [ cita requerida ]
En los sistemas anteriores se pueden utilizar tanto desigualdades estrictas como no estrictas.
- No todos los sistemas de desigualdades lineales tienen soluciones.
Las variables se pueden eliminar de los sistemas de desigualdades lineales mediante la eliminación de Fourier-Motzkin . [5]
Aplicaciones
Poliedros
El conjunto de soluciones de una desigualdad lineal real constituye un medio espacio del espacio real 'n' dimensional, uno de los dos definidos por la ecuación lineal correspondiente.
El conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales corresponde a la intersección de los medios espacios definidos por desigualdades individuales. Es un conjunto convexo , ya que los medios espacios son conjuntos convexos y la intersección de un conjunto de conjuntos convexos también es convexa. En los casos no degenerados, este conjunto convexo es un poliedro convexo (posiblemente ilimitado, por ejemplo, un semiespacio, una losa entre dos semiespacios paralelos o un cono poliédrico ). También puede ser un poliedro vacío o convexo de menor dimensión confinado a un subespacio afín del espacio n -dimensional R n .
Programación lineal
Un problema de programación lineal busca optimizar (encontrar un valor máximo o mínimo) una función (llamada función objetivo ) sujeta a una serie de restricciones sobre las variables que, en general, son desigualdades lineales. [6] La lista de restricciones es un sistema de desigualdades lineales.
Generalización
La definición anterior requiere operaciones bien definidas de suma , multiplicación y comparación ; por lo tanto, la noción de desigualdad lineal puede extenderse a anillos ordenados y, en particular, a campos ordenados .
Referencias
- ^ Miller y Heeren 1986 , p. 355
- ^ Técnicamente, para que esta afirmación sea correcta, tanto a como b no pueden ser simultáneamente cero. En esa situación, el conjunto de soluciones está vacío o el plano completo.
- ^ Angel y Porter , 1989 , p. 310
- ^ En el caso bidimensional, tanto las formas lineales como las funciones afines se denominan históricamente funciones lineales porque sus gráficos son líneas. En otras dimensiones, ningún tipo de función tiene un gráfico que sea una línea, por lo que la generalización de la función lineal en dos dimensiones a dimensiones superiores se realiza mediante propiedades algebraicas y esto provoca la división en dos tipos de funciones. Sin embargo, la diferencia entre funciones afines y formas lineales es solo la adición de una constante.
- ^ Gärtner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Comprensión y uso de la programación lineal . Berlín: Springer. ISBN 3-540-30697-8.
- ^ Angel y Porter , 1989 , p. 373
Fuentes
- Angel, Allen R .; Porter, Stuart R. (1989), Una encuesta de matemáticas con aplicaciones (3a ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1
- Miller, Charles D .; Heeren, Vern E. (1986), Ideas matemáticas (5.a ed.), Scott, Foresman, ISBN 0-673-18276-2