Espacio afín
En matemáticas , un espacio afín es una estructura geométrica que generaliza algunas de las propiedades de los espacios euclidianos de tal forma que estos son independientes de los conceptos de distancia y medida de ángulos, conservando únicamente las propiedades relacionadas con el paralelismo y la razón de longitudes por paralelo. segmentos de línea .
En un espacio afín no hay un punto distinguido que sirva de origen. Por lo tanto, ningún vector tiene un origen fijo y ningún vector puede asociarse únicamente a un punto. En un espacio afín, existen en cambio vectores de desplazamiento , también llamados vectores de traslación o simplemente traslaciones , entre dos puntos del espacio. [1] Por lo tanto, tiene sentido restar dos puntos del espacio, dando un vector de traslación, pero no tiene sentido sumar dos puntos del espacio. Asimismo, tiene sentido agregar un vector de desplazamiento a un punto de un espacio afín, lo que da como resultado un nuevo punto trasladado desde el punto inicial por ese vector.
Cualquier espacio vectorial puede verse como un espacio afín; esto equivale a olvidar el papel especial que juega el vector cero . En este caso, los elementos del espacio vectorial pueden verse como puntos del espacio afín o como vectores de desplazamiento o traslaciones . Cuando se considera como un punto, el vector cero se llama origen . Agregar un vector fijo a los elementos de un subespacio lineal de un espacio vectorial produce un subespacio afín . Comúnmente se dice que este subespacio afín se ha obtenido trasladando (lejos del origen) el subespacio lineal por el vector de traslación. En dimensiones finitas, talsubespacio afín es el conjunto solución de un sistema lineal no homogéneo . Los vectores de desplazamiento para ese espacio afín son las soluciones del sistema lineal homogéneo correspondiente , que es un subespacio lineal. Los subespacios lineales, en cambio, siempre contienen el origen del espacio vectorial.
La dimensión de un espacio afín se define como la dimensión del espacio vectorial de sus traslaciones. Un espacio afín de dimensión uno es una línea afín . Un espacio afín de dimensión 2 es un plano afín . Un subespacio afín de dimensión n – 1 en un espacio afín o un espacio vectorial de dimensión n es un hiperplano afín .
La siguiente caracterización puede ser más fácil de entender que la definición formal habitual: un espacio afín es lo que queda de un espacio vectorial después de haber olvidado qué punto es el origen (o, en palabras del matemático francés Marcel Berger , "Un el espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen tratamos de olvidar añadiendo traslaciones a las funciones lineales" [2] ). Imagina que Alice sabe que cierto punto es el origen real, pero Bob cree que otro punto, llámalo p , es el origen. Se van a sumar dos vectores, a y b . Bob dibuja una flecha desde el punto p hasta el puntoa y otra flecha del punto p al punto b , y completa el paralelogramo para encontrar lo que Bob cree que es a + b , pero Alice sabe que en realidad ha calculado
De manera similar, Alice y Bob pueden evaluar cualquier combinación lineal de a y b , o de cualquier conjunto finito de vectores, y generalmente obtendrán respuestas diferentes. Sin embargo, si la suma de los coeficientes en una combinación lineal es 1, Alice y Bob llegarán a la misma respuesta.
