En geometría , un plano afín es un espacio afín bidimensional .
Ejemplos de
Ejemplos típicos de planos afines son
- Planos euclidianos , que son planos afines sobre los reales , equipados con una métrica , la distancia euclidiana . En otras palabras, un plano afín sobre los reales es un plano euclidiano en el que se ha "olvidado" la métrica (es decir, no se habla de longitudes ni de medidas de ángulos).
- Espacios vectoriales de dimensión dos, en los que el vector cero no se considera diferente de los demás elementos.
- Para cada campo o anillo de división F , el conjunto F 2 de los pares de elementos de F
- El resultado de eliminar una sola línea (y todos los puntos de esta línea) de cualquier plano proyectivo
Coordenadas e isomorfismo
Todos los planos afines definidos sobre un campo son isomorfos . Más precisamente, la elección de un sistema de coordenadas afines (o, en el caso real, un sistema de coordenadas cartesianas ) para un plano afín P sobre un campo F induce un isomorfismo de planos afines entre P y F 2 .
En la situación más general, donde los planos afines no están definidos sobre un campo, en general no serán isomorfos. Dos planos afines que surgen del mismo plano proyectivo no desarguesiano mediante la eliminación de diferentes líneas pueden no ser isomorfos.
Definiciones
Hay dos formas de definir formalmente planos afines, que son equivalentes a planos afines sobre un campo. El primero consiste en definir un plano afín como un conjunto sobre el que un espacio vectorial de dimensión dos actúa simplemente de forma transitiva . Intuitivamente, esto significa que un plano afín es un espacio vectorial de dimensión dos en el que uno ha "olvidado" dónde está el origen. En geometría de incidencia , un plano afín se define como un sistema abstracto de puntos y líneas que satisfacen un sistema de axiomas.
Aplicaciones
En las aplicaciones de las matemáticas, a menudo hay situaciones en las que se utiliza un plano afín sin la métrica euclidiana en lugar del plano euclidiano. Por ejemplo, en un gráfico , que se puede dibujar en papel, y en el que se traza la posición de una partícula contra el tiempo, la métrica euclidiana no es adecuada para su interpretación, ya que las distancias entre sus puntos o las medidas de los ángulos entre sus líneas, en general, no tienen importancia física (en el plano afín los ejes pueden utilizar diferentes unidades, que no son comparables, y las medidas también varían con diferentes unidades y escalas [1] ). [2] [3]
Fuentes
- Artin, Emil (1987), "II. Geometría afín y proyectiva", Álgebra geométrica , Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
- Blumenthal, Leonard M. (1980) [1961], "IV. Coordenadas en un plano afín", Una visión moderna de la geometría , Dover, ISBN 0-486-63962-2
- Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), "II. Geometría afín y proyectiva", Geometría lineal (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
- Pargo, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Geometría afín métrica , Dover, ISBN 0-486-66108-3
- Yale, Paul B. (1968), "Capítulo 5 Espacios afines", Geometría y simetría , Holden-Day
Referencias
- ^ Véanse también los libros de Mandelbrot , "Autoafinidad gaussiana y fractales", de Levi , "Fundamentos de geometría y trigonometría", y de Yaglom , "Una geometría no euclidiana simple y su base física".
- ^ Paul Bamberg; Shlomo Sternberg (1991). Un curso de matemáticas para estudiantes de física . 1 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 1-2. ISBN 978-0-521-40649-9.
- ^ Howard Levi (1975). Temas de geometría . RE Krieger Publishing Company. pag. 75. ISBN 978-0-88275-280-8.