Recurrencia lineal con coeficientes constantes
En matemáticas (incluyendo combinatoria , álgebra lineal y sistemas dinámicos ), una recurrencia lineal con coeficientes constantes [1] : cap. 17 [2] : cap. 10 (también conocida como relación de recurrencia lineal o ecuación de diferencia lineal ) iguala a 0 un polinomio que es lineal en las diversas iteraciones de una variable , es decir, en los valores de los elementos de una secuencia . La linealidad del polinomio significa que cada uno de sus términos tiene grado0 o 1. Una recurrencia lineal denota la evolución de alguna variable a lo largo del tiempo, con el período de tiempo actual o momento discreto en el tiempo denotado como t , un período anterior denotado como t − 1 , un período posterior como t + 1 , etc.
La solución de tal ecuación es una función de t , y no de ningún valor iterado, dando el valor de la iteración en cualquier momento. Para encontrar la solución es necesario conocer los valores específicos (conocidos como condiciones iniciales ) de n de las iteraciones, y normalmente estas son las n iteraciones más antiguas. Se dice que la ecuación o su variable es estable si de cualquier conjunto de condiciones iniciales existe el límite de la variable a medida que el tiempo tiende al infinito; este límite se llama estado estacionario .
Las ecuaciones en diferencias se usan en una variedad de contextos, como en economía para modelar la evolución a lo largo del tiempo de variables como el producto interno bruto , la tasa de inflación , el tipo de cambio , etc. Se usan para modelar tales series de tiempo porque los valores de estos las variables solo se miden en intervalos discretos. En aplicaciones econométricas , las ecuaciones diferenciales lineales se modelan con términos estocásticos en forma de modelos autorregresivos (AR) y en modelos como vector autorregresivo (VAR) y media móvil autorregresiva . (ARMA) modelos que combinan AR con otras funciones.
Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una ecuación de la siguiente forma, escrita en términos de parámetros a 1 , …, a n y b :
El entero positivo se denomina orden de recurrencia y denota el mayor tiempo de retraso entre iteraciones. La ecuación se llama homogénea si b = 0 y no homogénea si b ≠ 0 .
Si la ecuación es homogénea, los coeficientes determinan el polinomio característico (también "polinomio auxiliar" o "polinomio compañero")