Un espacio lineal es una estructura básica en geometría de incidencia . Un espacio lineal consta de un conjunto de elementos llamados puntos y un conjunto de elementos llamados líneas . Cada línea es un subconjunto distinto de puntos. Se dice que los puntos de una línea inciden en la línea. Dos líneas cualesquiera no pueden tener más de un punto en común. Intuitivamente, esta regla se puede visualizar como dos líneas rectas, que nunca se cruzan más de una vez.
Los espacios lineales (finitos) pueden verse como una generalización de planos proyectivos y afines , y más ampliamente, dediseños de bloques , donde se descarta el requisito de que cada bloque contenga el mismo número de puntos y la característica estructural esencial es que 2 puntos inciden exactamente con 1 línea.
El término espacio lineal fue acuñado por Paul Libois en 1964, aunque muchos resultados sobre espacios lineales son mucho más antiguos.
Definición
Sea L = ( P , G , I ) una estructura de incidencia , para la cual los elementos de P se llaman puntos y los elementos de G se llaman líneas. L es un espacio lineal si se cumplen los siguientes tres axiomas:
- (L1) dos puntos distintos inciden exactamente con una línea.
- (L2) cada línea incide al menos en dos puntos distintos.
- (L3) L contiene al menos dos líneas distintas.
Algunos autores descartan (L3) al definir espacios lineales. En tal situación, los espacios lineales que cumplen con (L3) se consideran no triviales y los que no lo hacen, triviales .
Ejemplos de
El plano euclidiano regular con sus puntos y líneas constituye un espacio lineal, además, todos los espacios afines y proyectivos son también espacios lineales.
La siguiente tabla muestra todos los posibles espacios lineales no triviales de cinco puntos. Debido a que dos puntos cualesquiera siempre inciden en una línea, las líneas que inciden en sólo dos puntos no se trazan, por convención. El caso trivial es simplemente una línea que pasa por cinco puntos.
En la primera ilustración, las diez líneas que conectan los diez pares de puntos no están dibujadas. En la segunda ilustración, no se dibujan siete líneas que conectan siete pares de puntos.
10 líneas | 8 líneas | 6 líneas | 5 líneas |
Un espacio lineal de n puntos que contiene una línea que incide con n - 1 puntos se llama lápiz cercano . (Ver lápiz )
cerca de lápiz con 10 puntas |
Propiedades
El teorema de De Bruijn-Erdős muestra que en cualquier espacio lineal finito que no es un solo punto o una sola línea, tenemos .
Ver también
Referencias
- Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.
- Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN 3-411-01648-5 , pág. 159 (alemán)
- JH van Lint , RM Wilson : Un curso de combinatoria . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1992, ISBN 0-521-42260-4 . pag. 188
- LM Batten, Albrecht Beutelspacher: La teoría de los espacios lineales finitos . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.