Linealización

En matemáticas , la linealización consiste en encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . ^[1] Este método se utiliza en campos como la ingeniería , la física ,economía y ecología .

Las linealizaciones de una función son líneas, por lo general líneas que se pueden utilizar con fines de cálculo. La linealización es un método eficaz para aproximar la salida de una función en cualquier basado en el valor y la pendiente de la función en , dado que es diferenciable en (o ) y que está cerca de . En resumen, la linealización se aproxima a la salida de una función cercana .${\ Displaystyle y = f (x)}$${\ Displaystyle x = a}$${\ Displaystyle x = b}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle [b, a]}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle x = a}$

Por ejemplo, . Sin embargo, ¿cuál sería una buena aproximación ?${\ Displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$${\ Displaystyle {\ sqrt {4.001}} = {\ sqrt {4 + .001}}}$

Para cualquier función dada , se puede aproximar si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que , dónde está la linealización de a . La forma punto-pendiente de una ecuación forma una ecuación de una línea, dados un punto y una pendiente . La forma general de esta ecuación es: .${\ Displaystyle y = f (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle L_ {a} (a) = f (a)}$${\ Displaystyle L_ {a} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle x = a}$${\ Displaystyle (H, K)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle yK = M (xH)}$

Una aproximación de f (x) = x ^ 2 en ( x , f ( x ))