- Para la ecuación de Liouville en geometría diferencial, consulte la ecuación de Liouville .
En matemáticas , la ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand o la ecuación de Liouville es una ecuación de Poisson no lineal , llamada así por los matemáticos Joseph Liouville , [1] G. Bratu [2] e Israel Gelfand . [3] La ecuación dice
La ecuación aparece en fuga térmica como teoría de Frank-Kamenetskii , astrofísica por ejemplo, ecuación de Emden-Chandrasekhar . Esta ecuación también describe la carga espacial de electricidad alrededor de un cable incandescente [4] y describe la nebulosa planetaria .
Solución de Liouville [5]
En dos dimensiones con coordenadas cartesianas , Joseph Liouville propuso una solución en 1853 como
dónde es una función analítica arbitraria con. En 1915, GW Walker [6] encontró una solución asumiendo una forma para. Si, entonces la solución de Walker es
dónde es un radio finito. Esta solución decae al infinito para cualquier, pero se vuelve infinito en el origen de , se vuelve finito en el origen de y se vuelve cero en el origen para . Walker también propuso dos soluciones más en su artículo de 1915.
Formas radialmente simétricas
Si el sistema a estudiar es radialmente simétrico, entonces la ecuación en la dimensión se convierte en
dónde es la distancia desde el origen. Con las condiciones de contorno
y para , existe una solución real solo para , dónde es el parámetro crítico denominado parámetro Frank-Kamenetskii . El parámetro crítico es por , por y por . Para, existen dos soluciones y para Existe una infinidad de soluciones con soluciones que oscilan alrededor del punto . Para, la solución es única y en estos casos el parámetro crítico viene dado por . Multiplicidad de soluciones parafue descubierto por Israel Gelfand en 1963 y más tarde en 1973 se generalizó para todospor Daniel D. Joseph y Thomas S. Lundgren . [7]
La solucion para que es válido en el rango es dado por
dónde está relacionado con como
La solucion para que es válido en el rango es dado por
dónde está relacionado con como
Referencias
- ↑ Liouville, J. "Sur l'équation aux différences partielles. "Journal de mathématiques pures et appliquées (1853): 71–72. Http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A3_0.pdf
- ^ Bratu, G. "Sur les équations intégrales non linéaires". Bulletin de la Société Mathématique de France 42 (1914): 113–142. http://archive.numdam.org/article/BSMF_1914__42__113_0.pdf
- ^ Gelfand, IM "Algunos problemas en la teoría de ecuaciones cuasilineales". Amer. Matemáticas. Soc. Transl 29.2 (1963): 295–381. http://www.mathnet.ru/links/aa75c5d339030f17940afb64e17793d8/rm7290.pdf
- ^ Richardson, Owen Willans. La emisión de electricidad de cuerpos calientes. Longmans, Green and Company, 1921.
- ^ Bateman, Harry. "Ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática". Ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática, por H. Bateman, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1932 (1932).
- ^ Walker, George W. "Algunos problemas que ilustran las formas de las nebulosas". Actas de la Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico 91.631 (1915): 410-420. https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
- ^ Joseph, DD y TS Lundgren. "Problemas de Dirichlet cuasilineales impulsados por fuentes positivas". Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.