Fórmula de masa semi-empírica

Fórmula para aproximar la masa nuclear basada en recuentos de nucleones

Física nuclear
Nucleus  · nucleones  ( p , n )  · la materia nuclear  · fuerza nuclear  · estructura Nuclear  · reacción Nuclear
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Clasificación de nucleidos Isótopos - iguales Z Isobaras - iguales A Isotonos - iguales N Isodiaphers - iguales N  -       Isómeros Z - iguales a todos los anteriores Núcleos espejo  - Z ↔ N Estable  · Magia  · Par / impar  · Halo  ( Borromeo )
Estabilidad nuclear Energía de unión  · Relación p – n  · Línea de goteo  · Isla de estabilidad  · Valle de estabilidad  · Nuclido estable
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Fisión nuclear Espontáneo  · Productos  ( ruptura de pares )  · Photofission
Captura de procesos electrón ( 2 × )  · neutrón  ( s  · r )  · protón  ( p  · rp )
Procesos de alta energía Espalación ( por rayos cósmicos )  · Fotodisintegración
Nucleosíntesis y astrofísica nuclear Procesos de fusión nuclear : Estelar  · Big Bang  · Supernova Nuclides: Primordial  · Cosmogénico  · Artificial
Física nuclear de alta energía Plasma de quark-gluón  · RHIC  · LHC
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En física nuclear , la fórmula de masa semi-empírica ( SEMF ) (a veces también llamada fórmula de Weizsäcker , fórmula de Bethe-Weizsäcker o fórmula de masa de Bethe-Weizsäcker para distinguirla del proceso de Bethe-Weizsäcker ) se utiliza para aproximar la masa y varios otras propiedades de un núcleo atómico de su número de protones y neutrones . Como sugiere el nombre, se basa en parte en la teoría y en parte en mediciones empíricas. La fórmula representa el modelo de gota de líquido propuesto por George Gamow ,^[1] que puede dar cuenta de la mayoría de los términos de la fórmula y proporciona estimaciones aproximadas de los valores de los coeficientes. Fue formulado por primera vez en 1935 por el físico alemán Carl Friedrich von Weizsäcker ^[2] y aunque se han realizado refinamientos en los coeficientes a lo largo de los años, la estructura de la fórmula sigue siendo la misma en la actualidad.

La fórmula proporciona una buena aproximación de las masas atómicas y, por tanto, de otros efectos. Sin embargo, no explica la existencia de líneas de mayor energía de enlace en cierto número de protones y neutrones. Estos números, conocidos como números mágicos , son la base del modelo de capa nuclear .

El modelo de gota líquida

Ilustración de los términos de la fórmula de masa semi-empírica en el modelo de gota líquida del núcleo atómico.

El modelo de gota de líquido fue propuesto por primera vez por George Gamow y desarrollado por Niels Bohr y John Archibald Wheeler . Trata el núcleo como una gota de fluido incompresible de muy alta densidad, que se mantiene unido por la fuerza nuclear (un efecto residual de la fuerza fuerte ), hay una similitud con la estructura de una gota de líquido esférica. Si bien es un modelo crudo, el modelo de gota de líquido tiene en cuenta la forma esférica de la mayoría de los núcleos y hace una predicción aproximada de la energía de enlace.

La fórmula de masa correspondiente se define puramente en términos del número de protones y neutrones que contiene. La fórmula original de Weizsäcker define cinco términos:

• Energía volumétrica, cuando un conjunto de nucleones del mismo tamaño se empaqueta en el volumen más pequeño, cada nucleón interior tiene un cierto número de otros nucleones en contacto con él. Entonces, esta energía nuclear es proporcional al volumen.
• La energía de superficie corrige la suposición anterior de que cada nucleón interactúa con el mismo número de otros nucleones. Este término es negativo y proporcional al área de la superficie y, por lo tanto, es aproximadamente equivalente a la tensión superficial del líquido .
• Energía de Coulomb , la energía potencial de cada par de protones. Como se trata de una fuerza repulsiva, la energía de enlace se reduce.
• Energía de asimetría (también llamada energía de Pauli ), que explica el principio de exclusión de Pauli . Un número desigual de neutrones y protones implica llenar niveles de energía más altos para un tipo de partícula, mientras que deja vacíos niveles de energía más bajos para el otro tipo.
• Energía de apareamiento , que explica la tendencia a que se produzcan los pares de protones y los pares de neutrones . Un número par de partículas es más estable que un número impar debido al acoplamiento de espín .

La fórmula

La energía de enlace por nucleón (en MeV ) que se muestra como una función del número de neutrones N y el número atómico Z como lo indica la fórmula de masa semi-empírica. Se incluye una línea discontinua para mostrar los nucleidos que se han descubierto mediante experimentos.

La diferencia entre las energías predichas y las energías de enlace conocidas, expresada en kiloelectronvoltios. Los fenómenos presentes pueden explicarse mediante otros términos sutiles, pero la fórmula de masa no puede explicar la presencia de líneas, claramente identificables por picos agudos en los contornos.

La masa de un núcleo atómico, para neutrones , protones y, por lo tanto , nucleones , está dada por${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A=N+Z}$

${\displaystyle m=Zm_{p}+Nm_{n}-{\frac {E_{B}(N,Z)}{c^{2}}}}$

donde y son la masa en reposo de un protón y un neutrón, respectivamente, y es la energía de enlace del núcleo. La fórmula de masa semi-empírica establece que la energía de enlace es:${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle E_{B}}$

${\displaystyle E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+\delta (N,Z)}$^[3]

El término es cero o , dependiendo de la paridad de y , donde para algún exponente . Tenga en cuenta que como , el numerador de la una _Un término puede ser reescrito como .${\displaystyle \delta (N,Z)}$${\displaystyle \pm \delta _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \delta _{0}={a_{P}}{A^{k_{P}}}}$${\displaystyle k_{P}}$${\displaystyle A=N+Z}$${\displaystyle (A-2Z)^{2}}$

Cada uno de los términos de esta fórmula tiene una base teórica. Los coeficientes , , , , y se determinan empíricamente; si bien pueden derivarse de experimentos, generalmente se derivan de ajustes por mínimos cuadrados a datos contemporáneos. Aunque normalmente se expresa mediante sus cinco términos básicos, existen otros términos para explicar fenómenos adicionales. De manera similar a cómo cambiar un ajuste polinómico cambiará sus coeficientes, la interacción entre estos coeficientes a medida que se introducen nuevos fenómenos es compleja; algunos términos se influyen entre sí, mientras que el término es en gran medida independiente. ^[4]${\displaystyle a_{V}}$${\displaystyle a_{S}}$${\displaystyle a_{C}}$${\displaystyle a_{A}}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle a_{P}}$

Término de volumen

El término se conoce como término de volumen . El volumen del núcleo es proporcional a A , por lo que este término es proporcional al volumen, de ahí el nombre.${\displaystyle a_{V}A}$

La base de este término es la fuerza nuclear fuerte . La fuerza fuerte afecta tanto a los protones y los neutrones, y como se esperaba, este término es independiente de Z . Debido a que el número de pares que se pueden tomar de las partículas A es , uno podría esperar un término proporcional a . Sin embargo, la fuerza fuerte tiene un rango muy limitado, y un nucleón dado solo puede interactuar fuertemente con sus vecinos más cercanos y los vecinos más próximos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que realmente interactúan es aproximadamente proporcional a A , lo que le da al término volumen su forma.${\displaystyle {\frac {A(A-1)}{2}}}$${\displaystyle A^{2}}$

El coeficiente es menor que la energía de enlace que poseen los nucleones con respecto a sus vecinos ( ), que es del orden de 40 MeV . Esto se debe a que cuanto mayor es el número de nucleones en el núcleo, mayor es su energía cinética, debido al principio de exclusión de Pauli . Si se trata el núcleo como una bola de Fermi de nucleones , con igual número de protones y neutrones, entonces la energía cinética total es , con la energía de Fermi que se estima en 38 MeV . Por lo tanto, el valor esperado de en este modelo no está lejos del valor medido.${\displaystyle a_{V}}$${\displaystyle E_{b}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {3 \over 5}A\varepsilon _{F}}$${\displaystyle \varepsilon _{F}}$${\displaystyle a_{V}}$${\displaystyle E_{b}-{3 \over 5}\varepsilon _{F}\sim 17\;\mathrm {MeV} }$

Término superficial

El término se conoce como término superficial . Este término, también basado en la fuerza fuerte, es una corrección del término de volumen.${\displaystyle a_{S}A^{2/3}}$

El término volumen sugiere que cada interactúa nucleones con un número constante de nucleones, independiente de A . Si bien esto es casi cierto para los nucleones profundos dentro del núcleo, esos nucleones en la superficie del núcleo tienen menos vecinos más cercanos, lo que justifica esta corrección. Esto también se puede considerar como un término de tensión superficial y, de hecho, un mecanismo similar crea tensión superficial en los líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional a A , entonces el radio debería ser proporcional ay el área de la superficie a . Esto explica por qué el término superficial es proporcional a . También se puede deducir que debería tener un orden de magnitud similar a .${\displaystyle A^{1/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle a_{S}}$${\displaystyle a_{V}}$

Término de Coulomb

El término o se conoce como Coulomb o término electrostático .${\displaystyle a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$${\displaystyle a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

La base de este término es la repulsión electrostática entre protones. En una aproximación muy aproximada, el núcleo puede considerarse una esfera de densidad de carga uniforme . Se puede demostrar que la energía potencial de tal distribución de carga es

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}}$

donde Q es la carga total y R es el radio de la esfera. El valor de se puede calcular aproximadamente usando esta ecuación para calcular la energía potencial, usando un radio nuclear empírico de y Q = Ze . Sin embargo, debido a que la repulsión electrostática solo existirá para más de un protón, se convierte en :${\displaystyle a_{C}}$${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle Z^{2}}$${\displaystyle Z(Z-1)}$

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {(Ze)^{2}}{(r_{0}A^{\frac {1}{3}})}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}=a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$

donde ahora la constante de Coulomb electrostática a _C es

${\displaystyle a_{C}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}}$.

Usando la constante de estructura fina , podemos reescribir el valor de una _C :

${\displaystyle a_{C}={\frac {3}{5}}\left({\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}\right)={\frac {3}{5}}\left({\frac {R_{P}}{r_{0}}}\right)\alpha m_{p}c^{2}}$

donde es la constante de estructura fina y es el radio de un núcleo , dando aproximadamente 1,25 femtómetros . es la longitud de onda de Compton reducida por protones y es la masa del protón. Esto da un valor teórico aproximado de 0,691 MeV , no muy lejos del valor medido.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle a_{C}}$

Término de asimetría

El término se conoce como término de asimetría (o término de Pauli ). ${\displaystyle a_{A}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$

La justificación teórica de este término es más compleja. El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico en un átomo. A un nivel de energía dado, solo hay una cantidad finita de estados cuánticos disponibles para las partículas. Lo que esto significa en el núcleo es que a medida que se "agregan" más partículas, estas partículas deben ocupar niveles de energía más altos, aumentando la energía total del núcleo (y disminuyendo la energía de enlace). Tenga en cuenta que este efecto no se basa en ninguna de las fuerzas fundamentales ( gravitacional , electromagnética, etc.), solo el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y neutrones, que son tipos distintos de partículas, ocupan diferentes estados cuánticos. Uno puede pensar en dos "grupos" diferentes de estados, uno para protones y otro para neutrones. Ahora, por ejemplo, si hay significativamente más neutrones que protones en un núcleo, algunos de los neutrones tendrán una energía más alta que los estados disponibles en la reserva de protones. Si pudiéramos mover algunas partículas del grupo de neutrones al grupo de protones, en otras palabras, cambiar algunos neutrones en protones, disminuiríamos significativamente la energía. El desequilibrio entre el número de protones y neutrones hace que la energía sea más alta de lo necesario, para un número determinado de nucleones . Esta es la base del término de asimetría.

La forma real del término de asimetría se puede derivar nuevamente modelando el núcleo como una bola de Fermi de protones y neutrones. Su energía cinética total es

${\displaystyle E_{k}={3 \over 5}(Z{\varepsilon _{F}}_{p}+N{\varepsilon _{F}}_{n})}$

donde y son las energías de Fermi de los protones y neutrones. Puesto que éstas son proporcionales a y , respectivamente, se tiene${\displaystyle {\varepsilon _{F}}_{p}}$${\displaystyle {\varepsilon _{F}}_{n}}$${\displaystyle Z^{2/3}}$${\displaystyle N^{2/3}}$

${\displaystyle E_{k}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$para alguna constante C .

Los términos principales en la expansión de la diferencia son entonces${\displaystyle N-Z}$

${\displaystyle E_{k}={C \over 2^{2/3}}\left(A^{5/3}+{5 \over 9}{(N-Z)^{2} \over A^{1/3}}\right)+O((N-Z)^{4}).}$

En el orden cero de la expansión, la energía cinética es solo la energía total de Fermi multiplicada por . Así obtenemos${\displaystyle \varepsilon _{F}\equiv {\varepsilon _{F}}_{p}={\varepsilon _{F}}_{n}}$${\displaystyle {3 \over 5}A}$

${\displaystyle E_{k}={3 \over 5}\varepsilon _{F}A+{1 \over 3}\varepsilon _{F}{(N-Z)^{2} \over A}+O((N-Z)^{4}).}$

El primer término contribuye al término de volumen en la fórmula de masa semi-empírica, y el segundo término es menos el término de asimetría (recuerde que la energía cinética contribuye a la energía de enlace total con un signo negativo ).

${\displaystyle \varepsilon _{F}}$es 38 MeV , por lo que calculando a partir de la ecuación anterior, obtenemos solo la mitad del valor medido. La discrepancia se explica porque nuestro modelo no es exacto: los nucleones de hecho interactúan entre sí y no se distribuyen uniformemente a través del núcleo. Por ejemplo, en el modelo de capa , un protón y un neutrón con funciones de onda superpuestas tendrán una interacción más fuerte entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tengan menor energía) que los protones y neutrones tengan los mismos números cuánticos (distintos del isospín ) y, por lo tanto, aumente el costo energético de la asimetría entre ellos.${\displaystyle a_{A}}$

También se puede entender el término de asimetría de manera intuitiva, como sigue. Debe depender de la diferencia absoluta , y la forma es simple y diferenciable , lo cual es importante para ciertas aplicaciones de la fórmula. Además, las pequeñas diferencias entre Z y N no tienen un coste energético elevado. La A en el denominador refleja el hecho de que determinada diferencia es menos significativa para valores grandes de A .${\displaystyle |N-Z|}$${\displaystyle (N-Z)^{2}}$${\displaystyle |N-Z|}$

Término de emparejamiento

Magnitud del término de apareamiento en la energía de enlace total para núcleos pares-pares e impares, en función del número de masa. Se muestran dos ajustes (línea azul y roja). El término de emparejamiento (positivo para núcleos pares-pares y negativo para núcleos impares) se derivó de los datos de energía de enlace en: G. Audi et al., 'The AME2012 atomic mass assessment', en Chinese Physics C 36 (2012/12 ) págs. 1287-1602.

El término se conoce como término de emparejamiento (posiblemente también conocido como interacción por pares). Este término captura el efecto del acoplamiento de espín . Está dado por: ^[5]${\displaystyle \delta (A,Z)}$

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&Z,N{\text{ even }}(A{\text{ even}})\\0&A{\text{ odd}}\\-\delta _{0}&Z,N{\text{ odd }}(A{\text{ even}})\end{cases}}}$

donde se encuentra empíricamente para tener un valor de aproximadamente 1000 keV, disminuyendo lentamente con número de masa  A . La dependencia del número de masa se parametriza comúnmente como${\displaystyle \delta _{0}}$

${\displaystyle \delta _{0}={a_{P}}{A^{k_{P}}}.}$

El valor del exponente k _P se determina a partir de datos experimentales de energía de enlace. En el pasado, a menudo se suponía que su valor era −3/4, pero los datos experimentales modernos indican que un valor de −1/2 está más cerca de la marca:

${\displaystyle \delta _{0}={a_{P}}{A^{-1/2}}}$o .${\displaystyle \delta _{0}={a_{P}}{A^{-3/4}}}$

Debido al principio de exclusión de Pauli, el núcleo tendría una energía menor si el número de protones con giro hacia arriba fuera igual al número de protones con giro hacia abajo. Esto también es cierto para los neutrones. Solo si tanto Z como N son pares, tanto los protones como los neutrones pueden tener el mismo número de partículas de rotación hacia arriba y hacia abajo. Este es un efecto similar al término de asimetría.

El factor no se explica fácilmente en teoría. El cálculo de la bola de Fermi que hemos utilizado anteriormente, basado en el modelo de gota de líquido pero descuidando las interacciones, dará una dependencia, como en el término de asimetría. Esto significa que el efecto real para núcleos grandes será mayor de lo esperado por ese modelo. Esto debería explicarse por las interacciones entre nucleones; Por ejemplo, en el modelo de capa , dos protones con los mismos números cuánticos (distintos del giro ) tendrán funciones de onda completamente superpuestas y, por lo tanto, tendrán una mayor interacción fuerte.${\displaystyle A^{k_{P}}}$${\displaystyle A^{-1}}$entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tenga menor energía) para que los protones formen pares de espines opuestos. Lo mismo ocurre con los neutrones.

Calculando los coeficientes

Los coeficientes se calculan ajustándose a masas de núcleos medidas experimentalmente. Sus valores pueden variar según cómo se ajusten a los datos y qué unidad se utilice para expresar la masa. A continuación se muestran varios ejemplos.

	Eisberg y Resnick [6]	Ajuste por mínimos cuadrados (1)	Ajuste por mínimos cuadrados (2) [7]	Rohlf [8]	Wapstra [9]
unidad	tu	MeV	MeV	MeV	MeV
${\displaystyle a_{V}}$	0.01691	15,8	15,76	15,75	14.1
${\displaystyle a_{S}}$	0.01911	18,3	17,81	17,8	13
${\displaystyle a_{C}}$	0,000673 [α]	0,714	0,711	0,711	0.595
${\displaystyle a_{A}}$	0.10175 [β]	23,2	23.702	23,7	19
${\displaystyle a_{P}}$	0,012	12	34	11.18	33,5
${\displaystyle k_{P}}$	−1/2	−1/2	−3/4	−1/2	−3/4
${\displaystyle \delta _{0}}$ (par-par)	${\displaystyle -0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle +11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (impar-impar)	${\displaystyle +0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle -11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (par-impar, impar-par)	0	0	0	0	0
Este modelo se utilizaen el numerador del término de Coulomb.${\displaystyle Z^{2}}$ Este modelo se utilizaen el numerador del término Asimetría.${\displaystyle (Z-A/2)^{2}}$

La fórmula no considera la estructura de la capa interna del núcleo.

La fórmula de masa semi-empírica, por lo tanto, proporciona un buen ajuste a núcleos más pesados ​​y un ajuste deficiente a núcleos muy ligeros, especialmente 4 He . En el caso de núcleos ligeros, suele ser mejor utilizar un modelo que tenga en cuenta esta estructura de capa.

Ejemplos de consecuencias de la fórmula

Al maximizar E _b ( A , Z ) con respecto a Z , se encontraría la mejor relación neutrón-protón N / Z para un peso atómico A dado . ^[8] Obtenemos

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{C}}{2a_{A}}}A^{2/3}.}$

Esto es aproximadamente 1 para los núcleos ligeros, pero para los núcleos pesados ​​la proporción crece de acuerdo con el experimento .

Sustituyendo el valor anterior de Z de nuevo en E _b , se obtiene la energía de enlace en función del peso atómico, E _b ( A ). Maximizar E _b ( A ) / A con respecto a A da el núcleo que está más fuertemente unido, es decir, más estable. El valor que obtenemos es A = 63 ( cobre ), cercano a los valores medidos de A = 62 ( níquel ) y A = 58 ( hierro ).

El modelo de gota de líquido también permite el cálculo de barreras de fisión para núcleos, que determinan la estabilidad de un núcleo frente a la fisión espontánea . Originalmente se especuló que los elementos más allá del número atómico 104 no podrían existir, ya que sufrirían fisión con vidas medias muy cortas, ^[10] aunque esta fórmula no consideró los efectos estabilizadores de las capas nucleares cerradas . Una fórmula modificada que considera los efectos del caparazón reproduce datos conocidos y la isla de estabilidad prevista (en la que se espera que aumenten las barreras de fisión y la vida media, alcanzando un máximo en los cierres de caparazón), aunque también sugiere un posible límite para la existencia de núcleos superpesados ​​más alláZ  =  120 y N  = 184. ^[10]

Referencias

1. Gamow, George (1930). "Curva de defecto de masa y constitución nuclear" . Proceedings of the Royal Society A . 126 (803): 632–644. Código Bibliográfico : 1930RSPSA.126..632G . doi : 10.1098 / rspa.1930.0032 . JSTOR  95297 .
2. von Weizsäcker, CF (1935). "Zur Theorie der Kernmassen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 96 (7–8): 431–458. Código bibliográfico : 1935ZPhy ... 96..431W . doi : 10.1007 / BF01337700 .
3. Universidad del estado de Oregon. "Lección 3 de masas nucleares y energía vinculante" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 30 de septiembre de 2015 . Consultado el 30 de septiembre de 2015 .
4. Kirson, Michael W. ( enero de 2008). "Influencia mutua de términos en una fórmula de masas semi-empírica". Física Nuclear A . 798 (1): 29–60. Código Bibliográfico : 2008NuPhA.798 ... 29K . doi : 10.1016 / j.nuclphysa.2007.10.011 . ISSN 0375-9474 . 
5. Krane, K. (1988). Introducción a la física nuclear . John Wiley & Sons . pp.  68 . ISBN 978-0-471-85914-7.
6. Eisberg, Robert; Resnick, Robert (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (segunda ed.). John Wiley & Sons. pag. 528 . ISBN 0-471-87373-X.
7. Alonso, Marcelo; Finn, Edward J. (1969). Física Fundamental Universitaria. Vol. III. Física cuántica y estadística . Addison-Wesley Publishing Company . pag. 297.
8. Rohlf, JW (1994). Física moderna de α a Z ⁰ . John Wiley & Sons . ISBN  978-0471572701.
9. Wapstra, AH (1958). "Masas atómicas de nucleidos". En Flügge, S. (ed.). Propiedades externas de los núcleos atómicos . Enciclopedia de Física. 8/38 / 1. Springer . págs. 1-37. Código Bibliográfico : 1958HDP .... 38 .... 1W . doi : 10.1007 / 978-3-642-45901-6_1 . ISBN 978-3-642-45902-3.
10. Möller, P. (2016). "Los límites de la carta nuclear establecida por fisión y desintegración alfa" (PDF) . Web de Conferencias EPJ . 131 : 03002: 1–8. Código Bib : 2016EPJWC.13103002M . doi : 10.1051 / epjconf / 201613103002 .

Fuentes

• Freedman, R .; Joven, H. (2004). Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics (11ª ed.). págs. 1633-1634. ISBN 978-0-8053-8768-1.
• Liverhant, SE (1960). Introducción elemental a la física de los reactores nucleares . John Wiley & Sons . págs.  58–62 . LCCN  60011725 .
• Choppin, G .; Liljenzin, J.-O .; Rydberg, J. (2002). "Masa nuclear y estabilidad" (PDF) . Radioquímica y Química Nuclear (3ª ed.). Butterworth-Heinemann . págs. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8.

Enlaces externos

• Modelo de gota de líquido nuclear en la referencia en línea de hiperfísica de la Universidad Estatal de Georgia .
• Modelo de gota de líquido con ajuste de parámetros de First Observations of Excited States en los núcleos deficientes de neutrones ^160,161 W y ¹⁵⁹ Ta , Alex Keenan, tesis doctoral, Universidad de Liverpool , 1999 ( versión HTML ).