Linealización

En matemáticas , la linealización es encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . ^[1] Este método se utiliza en campos como ingeniería , física ,economía y ecología .

Las linealizaciones de una función son líneas, generalmente líneas que se pueden usar con fines de cálculo. La linealización es un método efectivo para aproximar la salida de una función en cualquier valor y pendiente de la función en , dado que es diferenciable en (o ) y que está cerca de . En resumen, la linealización se aproxima a la salida de una función cerca de .${\ estilo de visualización y = f (x)}$${\ estilo de visualización x = a}$${\ estilo de visualización x = b}$${\ estilo de visualización f (x)}$${\ estilo de visualización [a, b]}$${\ estilo de visualización [b, a]}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización x = a}$

Por ejemplo, . Sin embargo, ¿cuál sería una buena aproximación de ?${\ estilo de visualización {\ sqrt {4}} = 2}$${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$

Para cualquier función dada , se puede aproximar si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que , donde es la linealización de at . La forma punto-pendiente de una ecuación forma una ecuación de una línea, dado un punto y una pendiente . La forma general de esta ecuación es: .${\ estilo de visualización y = f (x)}$${\ estilo de visualización f (x)}$${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$${\displaystyle L_{a}(x)}$${\ estilo de visualización f (x)}$${\ estilo de visualización x = a}$${\ estilo de visualización (H, K)}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyle yK=M(xH)}$

Una aproximación de f(x)=x^2 en ( x , f ( x ))