En estadística , el tema de las pruebas de ubicación para distribuciones de mezcla de escalas gaussianas surge en algunos tipos particulares de situaciones en las que la prueba t de Student más estándar es inaplicable. Específicamente, estos casos permiten realizar pruebas de ubicación donde la suposición de que las observaciones de la muestra surgen de poblaciones que tienen una distribución normal puede ser reemplazada por la suposición de que surgen de una distribución de mezcla de escala gaussiana. La clase de distribuciones de mezcla de escala gaussiana contiene todas las distribuciones estables simétricas , distribuciones de Laplace , distribuciones logísticas y distribuciones de potencia exponenciales, etc.[1] [2]
Introducir
- t G n ( x ),
la contraparte de la distribución t de Student para mezclas de escala gaussiana. Esto significa que si probamos la hipótesis nula de que el centro de una distribución de mezcla de escala gaussiana es 0, digamos, entonces t n G ( x ) ( x ≥ 0) es el mínimo de todas las funciones monótonas no decrecientes u ( x ) ≥ 1 / 2, x ≥ 0 tal que si los valores críticos de la prueba son u −1 (1 - α ), entonces el nivel de significancia es como máximo α ≥ 1/2 para todas las distribuciones de mezcla de escala gaussiana [ t G n (x) = 1 - t G n (- x ), para x <0]. En los artículos de las referencias se da una fórmula explícita para t G n ( x ) en términos de las distribuciones t de Student , t k , k = 1, 2,…, n . Introducir
- Φ G ( x ): = lim n → ∞ t G n ( x ),
la contraparte de la mezcla de escala gaussiana de la función de distribución acumulativa normal estándar , Φ (x).
Teorema. Φ G ( x ) = 1/2 para 0 ≤ x <1, Φ G (1) = 3/4, Φ G ( x ) = C ( x / (2 - x 2 ) 1/2 ) para cuantiles entre 1 / 2 y 0.875, donde C ( x ) es la función de distribución acumulativa estándar de Cauchy . Esta es la parte convexa de la curva Φ G ( x ), x ≥ 0 que es seguida por una sección lineal Φ G ( x ) = x / (2 √ 3 ) + 1/2 para 1.3136… < x <1.4282 .. . Así, el cuantil 90% es exactamente 4 √ 3 /5. Más importante,
- Φ G ( x ) = Φ ( x ) para x ≥ √ 3 .
Tenga en cuenta que Φ ( √ 3 ) = 0,958…, por lo que el intervalo de confianza clásico del 95% para el valor esperado desconocido de las distribuciones gaussianas cubre el centro de simetría con al menos el 95% de probabilidad para las distribuciones de mezcla de escala gaussiana. Por otro lado, el cuantil del 90% de Φ G ( x ) es 4 √ 3 /5 = 1,385 ...> Φ -1 (0,9) = 1,282 ... Los siguientes valores críticos son importantes en aplicaciones: 0,95 = Φ (1,645) = Φ G (1.651) y 0.9 = Φ (1.282) = Φ G (1.386). [3]
Para la extensión del Teorema a todas las distribuciones unimodales simétricas, se puede comenzar con un resultado clásico de Aleksandr Khinchin : a saber, que todas las distribuciones unimodales simétricas son mezclas de escala de distribuciones uniformes simétricas.
Problema abierto
La contraparte del Teorema anterior para la clase de todas las distribuciones simétricas, o de manera equivalente, para la clase de mezclas de escala de variables aleatorias de lanzamiento de monedas, conduce al siguiente problema: [4]
- ¿Cuántos vértices de un cubo unitario n- dimensional puede cubrir una esfera con un radio r dado (y un centro variable)? Responda esta pregunta para todos los números enteros positivos ny todos los números reales positivos r . (Ciertos casos especiales pueden ser fáciles de calcular).
Referencias
- ^ Andrews, D. y C Mallows, C. (1974) "Mezclas de escala de distribuciones normales", Revista de la Royal Statistical Society , 36, 99-102 JSTOR 2984774
- ^ West, M. (1987) "Mezclas a escala de distribuciones normales", Biometrika , 74 (3), 646-648 doi : 10.1093 / biomet / 74.3.646
- ^ Bakirov, NK y Székely, G. J (2005). "Prueba t de estudiantes para mezclas de escala gaussiana" ( enlace alternativo ) Zapiski Nauchnyh Seminarov POMI, 328, Probabilidad y estadística. Parte 9 (editor VNSudakov) 5–19. Reimpreso (2006): Journal of Mathematical Sciences , 139 (3) 6497–6505 doi : 10.1007 / s10958-006-0366-5 .
- ^ Székely, GJ (2004/2006). "Prueba t de Student para errores de mezcla de escalas" , Optimidad: el segundo simposio de Erich L. Lehmann , 19 al 22 de mayo de 2004, Rice University, Ed. Rojo, J. Lecture Notes — Serie de monografías, número 49, Beachwood, Ohio, Instituto de Estadística Matemática, 10–18. doi : 10.1214 / 074921706000000365 .