Espacio Loeb

En matemáticas, un espacio de Loeb es un tipo de espacio de medida introducido por Loeb ( 1975 ) utilizando análisis no estándar .

La construcción de Loeb comienza con un mapa finamente aditivo de un álgebra interna de conjuntos a los reales no estándar . Definir como dado por la parte estándar de , de modo que sea un mapa finitamente aditivo de a los reales extendidos . Incluso si es un álgebra no estándar , no es necesario que el álgebra sea un álgebra ordinaria, ya que generalmente no está cerrada bajo uniones contables. En cambio, el álgebra tiene la propiedad de que si un conjunto en él es la unión de una familia contable de elementos de ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ , entonces el conjunto es la unión de un número finito de elementos de la familia, por lo que, en particular, cualquier mapa finitamente aditivo (como ) desde a los reales extendidos es automáticamente contable aditivo. Definir como el -álgebra generado por . Luego, según el teorema de extensión de Carathéodory, la medida on se extiende a una medida contable aditiva on , llamada medida de Loeb. ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\mathcal {M}}$ $\sigma$ ${\mathcal {A}}$ $\mu$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {M}}$