En lógica matemática , en particular en teoría de modelos y análisis no estándar , un conjunto interno es un conjunto que es miembro de un modelo.
El concepto de conjuntos internos es una herramienta para formular el principio de transferencia , que se refiere a la relación lógica entre las propiedades de los números reales R y las propiedades de un campo más grande denominado * R llamado números hiperreal . El campo * R incluye, en particular, números infinitesimales ("infinitamente pequeños"), proporcionando una rigurosa justificación matemática para su uso. En términos generales, la idea es expresar el análisis de más de R en un idioma adecuado de la lógica matemática, y luego señalar que este lenguaje se aplica igualmente bien a * R . Esto resulta ser posible porque en elEn el nivel teórico de conjuntos , las proposiciones en tal lenguaje se interpretan para que se apliquen sólo a conjuntos internos en lugar de a todos los conjuntos (nótese que el término "lenguaje" se usa en un sentido amplio en lo anterior).
La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson es un enfoque axiomático del análisis no estándar (ver también Palmgren en análisis constructivo no estándar ). Las cuentas infinitarias convencionales de análisis no estándar también utilizan el concepto de conjuntos internos.
Conjuntos internos en la construcción ultrapower
Relativo a la construcción ultrapotencia de los números hiperrealistas como clases de equivalencia de secuencias, un subconjunto interno [ A n ] de * R es uno definido por una secuencia de conjuntos reales, donde un hiperreal se dice que pertenece al conjunto si y solo si el conjunto de índices n tales que, Es un miembro de la ultrafiltro usado en la construcción de * R .
De manera más general, una entidad interna es un miembro de la extensión natural de una entidad real. Por tanto, cada elemento de * R es interno; un subconjunto de * R es interno si y solo si es miembro de la extensión natural del conjunto de poder de R ; etc.
Subconjuntos internos de los reales
Cada subconjunto interno de es necesariamente finito (es decir, no tiene elementos infinitos, pero puede tener un número infinito de elementos; ver Teorema 3.9.1 Goldblatt, 1998). En otras palabras, cada subconjunto infinito interno de los hiperreal contiene necesariamente elementos no estándar.
Ver también
Referencias
- Goldblatt, Robert . Conferencias sobre los hiperrealistas . Una introducción al análisis no estándar. Textos de posgrado en matemáticas , 188. Springer-Verlag, Nueva York, 1998.
- Abraham Robinson (1996), Análisis no estándar , hitos de Princeton en matemáticas y física, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3