Anillo Loewy

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En matemáticas, un anillo de Loewy o anillo semi-Artiniano es un anillo en el que cada módulo distinto de cero tiene un zócalo distinto de cero , o de manera equivalente si se define la longitud de Loewy de cada módulo. Los conceptos llevan el nombre de Alfred Loewy .

La longitud de Loewy y la serie Loewy fueron introducidas por Emil Artin , Cecil J. Nesbitt y Robert M. Thrall  ( 1944 )

Si M es un módulo, defina la serie de Loewy M _α para los ordinales α por M ₀  = 0, M _{α + 1} / M _α  = zócalo  M / M _α , M _α = ∪ _{λ <α}  M _λ si α es un límite ordinal. La longitud de Loewy de M se define como la α más pequeña con M  =  M _α , si existe.

${\ Displaystyle _ {R} M}$es un módulo semiartiniano si, para todo epimorfismo, donde , el zócalo de es esencial en .${\ displaystyle M \ rightarrow N}$${\ Displaystyle N \ neq 0}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

Tenga en cuenta que si es un módulo artiniano, entonces es un módulo semiartiniano. Claramente 0 es semiartiniano.${\ Displaystyle _ {R} M}$${\ Displaystyle _ {R} M}$

Seamos exactos entonces y son semiartinianos si y solo si es semiartinio.${\ displaystyle 0 \ rightarrow M '\ rightarrow M \ rightarrow M' '\ rightarrow 0}$${\ Displaystyle M '}$${\ Displaystyle M ''}$${\ Displaystyle M}$

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