En matemáticas , el término zócalo tiene varios significados relacionados.
Zócalo de un grupo
En el contexto de la teoría de grupos , el zócalo de un grupo G , soc denotado ( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos de G . Puede suceder que un grupo no tenga un subgrupo normal mínimo no trivial (es decir, cada subgrupo normal no trivial contenga correctamente otro subgrupo de este tipo) y, en ese caso, el zócalo se define como el subgrupo generado por la identidad. El zócalo es un producto directo de subgrupos normales mínimos. [1]
Como ejemplo, considere el grupo cíclico Z 12 con generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u 4 (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u 6 (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Por lo tanto, el zócalo de Z 12 es el grupo generado por u 4 y u 6 , que es solo el grupo generado por u 2 .
El zócalo es un subgrupo característico y, por tanto, un subgrupo normal. Sin embargo, no es necesariamente normal transitivamente .
Si un grupo G es un grupo resoluble finito , entonces el zócalo se puede expresar como un producto de p -grupos abelianos elementales . Por lo tanto, en este caso, es solo un producto de copias de Z / p Z para varios p , donde el mismo p puede ocurrir varias veces en el producto.
Zócalo de un módulo
En el contexto de la teoría de módulo y la teoría de anillos el zócalo de un módulo M sobre un anillo R se define como la suma de los submódulos distintos de cero mínimas de M . Puede considerarse como una noción dual a la de radical de un módulo . En notación de conjuntos,
Equivalentemente,
El zócalo de un anillo R puede referirse a uno de los dos conjuntos del anillo. Considerando R como un módulo R derecho , se define soc ( R R ), y considerando R como un módulo R izquierdo , se define soc ( R R ). Ambos zócalos son ideales de anillo , y se sabe que no son necesariamente iguales.
- Si M es un módulo de artiniano , SOC ( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M .
- Un módulo es semisimple si y sólo si soc ( M ) = M . Los anillos para los que soc ( M ) = M para todos los M son precisamente anillos semisimple .
- soc (soc ( M )) = soc ( M ).
- M es un módulo finitamente cogenerada si y sólo si soc ( M ) es de generación finita y soc (M) es un submódulo esencial de M .
- Dado que la suma de los módulos semisimple es semisimple, el zócalo de un módulo también podría definirse como el submódulo semisimple máximo único.
- A partir de la definición de rad ( R ), es fácil ver que rad ( R ) aniquila a soc ( R ). Si R es un unital de dimensión finita álgebra y M un finitamente generado R -módulo entonces el zócalo consiste precisamente de los elementos aniquiladas por el radical Jacobson de R . [2]
Álgebra Socle of a Lie
En el contexto de las álgebras de Lie , un zócalo de un álgebra de Lie simétrica es el espacio propio de su automorfismo estructural que corresponde al valor propio -1. (Un álgebra de Lie simétrica se descompone en la suma directa de su zócalo y su cosóculo ). [3]
Ver también
Referencias
- ^ Robinson 1996 , p.87.
- ^ JL Alperin ; Rowen B. Bell, Grupos y representaciones , 1995, ISBN 0-387-94526-1 , p. 136
- ^ Mikhail Postnikov , Geometría VI: Geometría de Riemann , 2001, ISBN 3540411089 , pág. 98
- Alperin, JL ; Bell, Rowen B. (1995). Grupos y Representaciones . Springer-Verlag . pag. 136 . ISBN 0-387-94526-1.
- Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Anillos y categorías de módulos . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
- Robinson, Derek JS (1996), Un curso de teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas , 80 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , págs. Xviii + 499, doi : 10.1007 / 978-1-4419 -8594-1 , ISBN 0-387-94461-3, MR 1357169