función de probabilidad

La función de probabilidad (a menudo llamada simplemente probabilidad ) describe la probabilidad conjunta de los datos observados como una función de los parámetros del modelo estadístico elegido . ^[1] Para cada valor de parámetro específico en el espacio de parámetros , la función de probabilidad asigna una predicción probabilística a los datos observados . Dado que es esencialmente el producto de las densidades de muestreo , la probabilidad generalmente encapsula tanto el proceso de generación de datos como el mecanismo de datos faltantes que produjo la muestra observada.${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización p (y | \ theta)}$${\ estilo de visualización y}$

Para enfatizar que la probabilidad no es un pdf de los parámetros, a menudo se escribe como . ^[a] En la estimación de máxima verosimilitud , la función de verosimilitud se maximiza para obtener el valor específico que es 'más probable' que iguale la parametrización del modelo probabilístico que generó los datos observados. Mientras tanto, en la estadística bayesiana , la función de verosimilitud sirve como conducto a través del cual la información de la muestra influye en la probabilidad posterior del parámetro. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid y)}$${\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {argmax} _{\theta \in \Theta }{\mathcal {L}}(\theta \mid y)}$${\displaystyle p(\theta \mid y)}$

El caso del uso de la probabilidad fue presentado por primera vez por RA Fisher , ^[3] quien creía que era un marco autónomo para la inferencia y el modelado estadístico. Más tarde, Barnard y Birnbaum lideraron una escuela de pensamiento que defendía el principio de probabilidad , postulando que toda la información relevante para la inferencia está contenida en la función de probabilidad. ^{[4] [5]} Pero tanto en la estadística frecuentista como en la bayesiana , la función de verosimilitud juega un papel fundamental. ^[6]

La función de probabilidad generalmente se define de manera diferente para distribuciones de probabilidad discretas y continuas . También es posible una definición general, como se analiza a continuación.

Sea una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad dependiente de un parámetro . Entonces la función${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización \ theta}$

Figura 1. La función de verosimilitud ( ) para la probabilidad de que una moneda caiga cara arriba (sin conocimiento previo de la equidad de la moneda), dado que hemos observado HH.${\displaystyle p_{\text{H}}^{2}}$

Figura 2. La función de verosimilitud ( ) para la probabilidad de que una moneda caiga cara arriba (sin conocimiento previo de la equidad de la moneda), dado que hemos observado HHT.${\displaystyle p_{\text{H}}^{2}(1-p_{\text{H}})}$