Estructura de registro

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En geometría algebraica , una estructura logarítmica proporciona un contexto abstracto para estudiar esquemas semiestables y, en particular, la noción de forma diferencial logarítmica y los conceptos relacionados de la teoría de Hodge . Esta idea tiene aplicaciones en la teoría de los espacios de los módulos , en la teoría de la deformación y en la teoría p-adic Hodge de Fontaine , entre otras.

La idea es estudiar alguna variedad algebraica (o esquema ) U que sea uniforme pero no necesariamente adecuada incrustándola en X , que es adecuada, y luego observando ciertas poleas en X . El problema es que el subhaz de funciones cuya restricción a U es invertible no es un haz de anillos (ya que la suma de dos funciones que no desaparecen podría dar como resultado una que se anula), y solo obtenemos un haz de submonoides de , multiplicativamente. Recordar esta estructura adicional en X corresponde a recordar la inclusión , que asemeja a X${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\ estilo de visualización j \ dos puntos U \ a X}$con esta estructura adicional a una variedad con límite (correspondiente a ). ^[1]${\ estilo de visualización D = XU}$

Sea X un esquema. Una estructura pre-logarítmica en X consiste en un haz de monoides (conmutativos) en X junto con un homomorfismo de monoides , donde se considera como un monoide bajo la multiplicación de funciones.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Una estructura pre-logarítmica es una estructura logarítmica si además induce un isomorfismo .${\ estilo de visualización ({\ matemáticas {M}}, \ alfa)}$${\ estilo de visualización \ alfa}$${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times})\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times} }$

Un morfismo de estructuras (pre)logarítmicas consiste en un homomorfismo de haces de monoides que conmutan con los homomorfismos asociados en .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Una aplicación de las estructuras de registro es la capacidad de definir formas logarítmicas en cualquier esquema de registro. A partir de esto, se pueden, por ejemplo, definir las nociones correspondientes de log-smooth y log-étaleness que son paralelas a las definiciones habituales de los esquemas. Esto permite entonces el estudio de la teoría de la deformación .

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