En matemáticas , la teoría p -ádica de Hodge es una teoría que proporciona una manera de clasificar y estudiar las representaciones p -ádicas de Galois de los campos locales característicos 0 [1] con la característica residual p (como Q p ). La teoría tiene sus inicios en el estudio de Jean-Pierre Serre y John Tate de los módulos Tate de variedades abelianas y la noción de representación Hodge-Tate . Las representaciones de Hodge-Tate están relacionadas con ciertas descomposiciones de la cohomología p -ádicateorías análogas a la descomposición de Hodge , de ahí el nombre p -teoría de Hodge ádica. Otros desarrollos se inspiraron en las propiedades de las representaciones p -ádicas de Galois que surgen de la cohomología étale de variedades . Jean-Marc Fontaine introdujo muchos de los conceptos básicos del campo.
Clasificación general de las representaciones p -ádicas
Sea K un campo local con un campo residual k de característica p . En este artículo, una representación p-ádica de K (o de G K , el grupo de Galois absoluto de K ) será una representación continua ρ: G K → GL ( V ), donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q p . La colección de todas las representaciones p -ádicas de K forman una categoría abeliana denotadaen este articulo. La teoría p -ádica de Hodge proporciona subcolecciones de representaciones p -ádicas basadas en lo agradables que son, y también proporciona functores fieles a categorías de objetos algebraicos lineales que son más fáciles de estudiar. La clasificación básica es la siguiente: [2]
donde cada colección es una subcategoría completa contenida correctamente en la siguiente. En orden, éstas son las categorías de representaciones cristalinas , representaciones semiestables , de representaciones Rham , representaciones Hodge-Tate, y todos los p representaciones -adic. Además, se pueden introducir otras dos categorías de representaciones, las representaciones potencialmente cristalinas Rep pcris ( K ) y las representaciones potencialmente semiestables Rep pst ( K ). Este último contiene estrictamente al primero, que a su vez generalmente contiene estrictamente Rep cris ( K ); Además, Rep pst ( K ) generalmente contiene estrictamente Rep st ( K ), y está contenido en Rep dR ( K ) (con igualdad cuando el campo de residuos de K es finito, un enunciado llamado teorema de monodromía p -ádico ).
Anillos de período e isomorfismos de comparación en geometría aritmética
La estrategia general de la teoría p -ádica de Hodge, introducida por Fontaine, es construir ciertos anillos de período [3] como B dR , B st , B cris y B HT que tienen una acción tanto de G K como de algunos estructura algebraica lineal y considerar los denominados módulos Dieudonné
(donde B es un anillo de período, y V es un p representación -adic), que ya no tienen un G K -action, pero están dotados de estructuras algebraicas lineales heredadas del anillo B . En particular, son espacios vectoriales sobre el campo fijo.. [4] Esta construcción encaja en el formalismo de las representaciones B -admisibles introducidas por Fontaine. Para un anillo de período como los mencionados anteriormente B ∗ (para ∗ = HT, dR, st, cris), la categoría de representaciones p -ádicas Rep ∗ ( K ) mencionadas anteriormente es la categoría de B ∗ -admisibles , es decir, aquellas p -representaciones ádicas V para las cuales
o, de manera equivalente, el morfismo de comparación
es un isomorfismo .
Este formalismo (y el anillo de período de nombre) surgió de algunos resultados y conjeturas con respecto a los isomorfismos de comparación en aritmética y geometría compleja :
- Si X es un esquema uniforme adecuado sobre C , hay un isomorfismo de comparación clásico entre la cohomología algebraica de Rham de X sobre C y la cohomología singular de X ( C )
- Este isomorfismo se puede obtener considerando un emparejamiento obtenido al integrar formas diferenciales en la cohomología algebraica de Rham sobre ciclos en la cohomología singular. El resultado de tal integración se llama período y generalmente es un número complejo. Esto explica por qué la cohomología singular debe estar tensada a C , y desde este punto de vista, se puede decir que C contiene todos los períodos necesarios para comparar la cohomología algebraica de Rham con la cohomología singular, y por lo tanto podría llamarse un anillo de período en esta situación .
- A mediados de los sesenta, Tate conjeturó [5] que un isomorfismo similar debería ser válido para los esquemas suaves adecuados X sobre K entre la cohomología algebraica de Rham y la cohomología p -adic étale (la conjetura de Hodge-Tate , también llamada C HT ). Específicamente, sea C K la finalización de un cierre algebraico de K , sea C K ( i ) denote C K donde la acción de G K es a través de g · z = χ ( g ) i g · z (donde χ es el p -carácter ciclotómico ádico , e i es un número entero), y sea. Entonces hay un isomorfismo functorial
- de espacios vectoriales graduados con acción G K (la cohomología de De Rham está equipada con la filtración de Hodge , y es su grado asociado). Esta conjetura fue probada por Gerd Faltings a finales de los años ochenta [6] después de los resultados parciales de varios otros matemáticos (incluido el propio Tate).
- Para una variedad abeliana X con buena reducción sobre un campo p -ádico K , Alexander Grothendieck reformuló un teorema de Tate para decir que la cohomología cristalina H 1 ( X / W ( k )) ⊗ Q p de la fibra especial (con el Frobenius endomorfismo en este grupo y la filtración de Hodge en este grupo tensored con K ) y la cohomología p -adic étale H 1 ( X , Q p ) (con la acción del grupo de Galois de K ) contenían la misma información. Ambos son equivalentes al grupo p -divisible asociado a X , hasta la isogenia. Grothendieck conjeturó que debería haber una manera de ir directamente de la cohomología p -ádica étale a la cohomología cristalina (y viceversa), para todas las variedades con buena reducción sobre los campos p -ádicos. [7] Esta relación sugerida se conoció como el functor misterioso .
Para mejorar la conjetura de Hodge-Tate a una que involucre la cohomología de Rham (no solo su grado asociado), Fontaine construyó [8] un anillo filtrado B dR cuyo grado asociado es B HT y conjeturó [9] lo siguiente (llamado C dR ) para cualquier esquema adecuado suave X sobre K
como espacios vectoriales filtrados con acción G K. De esta manera, podría decirse que B dR contiene todos los períodos ( p -ádicos) necesarios para comparar la cohomología algebraica de Rham con la cohomología p -ádica étale, al igual que los números complejos anteriores se usaron con la comparación con la cohomología singular. Aquí es donde B dR obtiene su nombre de anillo de períodos p-ádicos .
Del mismo modo, para formular una conjetura explicar misterioso funtor de Grothendieck, Fontaine introdujo un anillo B cris con G K -action, un φ "Frobenius", y una filtración después de extender escalares de K 0 a K . Conjeturó [10] lo siguiente (llamado C cris ) para cualquier esquema adecuado uniforme X sobre K con una buena reducción
como espacios vectoriales con acción φ, acción G K y filtración después de extender escalares a K (aquíse le da su estructura como un espacio de vector K 0 con acción φ dada por su comparación con la cohomología cristalina). Tanto las conjeturas de C dR como las de C cris fueron probadas por Faltings. [11]
Al comparar estos dos conjeturas con la noción de B * representaciones -admissible anteriormente, se ve que si X es un esquema liso adecuado sobre K (con buena reducción) y V es el p representación Galois -adic obtenido como es su i ésimo p -grupo de cohomología de étale ádico, luego
En otras palabras, los módulos de Dieudonné deben ser considerados como dando a los otros cohomologías relacionadas con V .
A finales de los ochenta, Fontaine y Uwe Jannsen formularon otra conjetura de isomorfismo de comparación, C st , esta vez permitiendo que X tuviera una reducción semi-estable . Fontaine construyó [12] un anillo B st con G K -acción, un "Frobenius" φ, una filtración después de extender los escalares de K 0 a K (y fijar una extensión del logaritmo p -ádico ), y un "operador de monodromía" N . Cuando X tiene reducción semi-estable, la cohomología de Rham puede equiparse con la acción φ y un operador de monodromía mediante su comparación con la cohomología log-cristalina introducida por primera vez por Osamu Hyodo. [13] La conjetura luego establece que
como espacios vectoriales con φ-acción, G K -action, filtración después de extender escalares a K , y el operador monodromía N . Esta conjetura fue probada a finales de los noventa por Takeshi Tsuji. [14]
Notas
- ^ En este artículo, un campo local es un campo de valoración discreto completo cuyo campo de residuo es perfecto .
- ^ Fontaine 1994 , p. 114
- ^ Estos anillos dependen del campo local K en cuestión, pero esta relación generalmente se elimina de la notación.
- ^ Para B = B HT , B dR , B st y B cris ,es K , K , K 0 y K 0 , respectivamente, donde K 0 = Frac ( W ( k )), el campo de fracción de los vectores de Witt de k .
- ^ Ver Serre 1967
- ^ Faltings 1988
- ^ Grothendieck 1971 , p. 435
- ^ Fontaine 1982
- ^ Fontaine 1982 , Conjetura A.6
- ^ Fontaine 1982 , Conjetura A.11
- ^ Faltings 1989
- ^ Fontaine 1994 , Exposé II, sección 3
- ^ Hyodo 1991
- ↑ Tsuji, 1999
Referencias
Fuentes primarias
- Tate, John (1966), " p -Divisible Groups", en Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, 1967. doi: 10.1007 / 978-3-642-87942-5
- Faltings, Gerd (1988), " p -adic Hodge theory", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 255-299, doi : 10.2307 / 1990970 , MR 0924705
- Faltings, Gerd , " Cohomología cristalina y representaciones p -ádicas de Galois", en Igusa, Jun-Ichi (ed.), Análisis algebraico, geometría y teoría de números , Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, págs. 25–80, ISBN 978-0-8018-3841-5, MR 1463696
- Fontaine, Jean-Marc (1982), "Sur ciertos tipos de représentations p -adiques du groupe de Galois d'un corps local; construction d'un anneau de Barsotti-Tate", Annals of Mathematics , 115 (3): 529– 577, doi : 10.2307 / 2007012 , MR 0657238
- Grothendieck, Alexander (1971), "Groupes de Barsotti – Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , 1 , págs. 431–436, MR 0578496
- Hyodo, Osamu (1991), "En el complejo de Rham-Witt unido a una familia semi-estable", Compositio Mathematica , 78 (3): 241-260, MR 1106296
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Résumé des cours, 1965-1966", Annuaire du Collège de France , París, págs. 49-58
- Tsuji, Takeshi (1999), " cohomología p -adic étale y cohomología cristalina en el caso de reducción semi-estable", Inventiones Mathematicae , 137 (2): 233–411, Bibcode : 1999InMat.137..233T , doi : 10.1007 / s002220050330 , MR 1705837
Fuentes secundarias
- Berger, Laurent (2004), "Una introducción a la teoría de las representaciones p -ádicas", Aspectos geométricos de la teoría Dwork , I , Berlín: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math / 0210184 , Bibcode : 2002math .. ... 10184B , ISBN 978-3-11-017478-6, Señor 2023292
- Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), Notas de la escuela de verano de CMI sobre la teoría p-adic Hodge (PDF) , consultado el 5 de febrero de 2010
- Fontaine, Jean-Marc , ed. (1994), Périodes p-adiques , Astérisque, 223 , París: Société Mathématique de France, MR 1293969
- Illusie, Luc (1990), "Cohomologie de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Exposés 715–729 , Astérisque, 189–190, París: Société Mathématique de France, págs. 325–374, MR 1099881