Diferencia de temperatura media logarítmica

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La diferencia de temperatura media logarítmica (también conocida como diferencia de temperatura media logarítmica , LMTD ) se utiliza para determinar la fuerza impulsora de la temperatura para la transferencia de calor en los sistemas de flujo, sobre todo en los intercambiadores de calor . El LMTD es un promedio logarítmico de la diferencia de temperatura entre las alimentaciones fría y caliente en cada extremo del intercambiador de doble tubería. Para un intercambiador de calor dado con área constante y coeficiente de transferencia de calor, cuanto mayor es el LMTD, más calor se transfiere. El uso del LMTD surge directamente del análisis de un intercambiador de calor con caudal constante y propiedades térmicas del fluido.

Definición

Suponemos que un intercambiador de calor genérico tiene dos extremos (que llamamos "A" y "B") en los que las corrientes frías y calientes entran o salen por ambos lados; entonces, el LMTD se define por la media logarítmica de la siguiente manera:

El LMTD ilustrado en un perfil de temperatura en contracorriente ^[1]

${\displaystyle LMTD={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}}$

donde ? T _A es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo A , y ? T _B es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo B . Con esta definición, el LMTD se puede utilizar para encontrar el calor intercambiado en un intercambiador de calor:

${\displaystyle Q=U\times A\times LMTD}$

Donde Q es la resistencia térmica intercambiada (en vatios ), U es el coeficiente de transferencia de calor (en vatios por kelvin por metro cuadrado) y A es el área de intercambio. Tenga en cuenta que estimar el coeficiente de transferencia de calor puede ser bastante complicado.

Esto es válido tanto para el flujo en contracorriente, donde las corrientes ingresan por el mismo extremo, como para el flujo en contracorriente , donde ingresan por diferentes extremos.

En un flujo cruzado, en el que un sistema, generalmente el disipador de calor, tiene la misma temperatura nominal en todos los puntos de la superficie de transferencia de calor, se mantiene una relación similar entre el calor intercambiado y el LMTD, pero con un factor de corrección. También se requiere un factor de corrección para otras geometrías más complejas, como un intercambiador de carcasa y tubos con deflectores.

Derivación

Suponga que la transferencia de calor ^[2] ocurre en un intercambiador de calor a lo largo de un eje z , de la coordenada genérica A a B , entre dos fluidos, identificados como 1 y 2 , cuyas temperaturas a lo largo de z son T ₁ (z) y T ₂ (z) .

El flujo de calor intercambiado local en z es proporcional a la diferencia de temperatura:

${\displaystyle q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))/D=U(\Delta \;T(z))/D,}$

donde D es la distancia entre los dos fluidos.

El calor que sale de los fluidos provoca un gradiente de temperatura según la ley de Fourier :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)}$

donde k _a y k _b son las conductividades térmicas del material intermedio en los puntos A y B respectivamente. En suma, esto se convierte en

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\Delta T}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,(T_{2}-T_{1})}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}-{\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=K\Delta T(z)}$

donde K = k _a + k _b .

La energía total intercambiada se encuentra integrando la transferencia de calor local q de A a B :

${\displaystyle Q=\int _{A}^{B}q(z)dz={\frac {U}{D}}\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz={\frac {U}{D}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}$

Utilice el hecho de que el área del intercambiador de calor Ar es la longitud de la tubería B - A multiplicada por la distancia entre tuberías D :

${\displaystyle Q={\frac {UAr}{(B-A)}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\int _{A}^{B}\,dz}}}$

En ambas integrales, realice un cambio de variables de z a Δ T :

${\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

Con la relación para Δ T encontrada arriba, esto se convierte en

${\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

La integración en este punto es trivial y finalmente da:

${\displaystyle Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln[\Delta T(B)/\Delta T(A)]}}}$,

de donde se sigue la definición de LMTD.

Supuestos y limitaciones

• Se ha supuesto que la tasa de cambio de la temperatura de ambos fluidos es proporcional a la diferencia de temperatura; esta suposición es válida para fluidos con un calor específico constante , que es una buena descripción de los fluidos que cambian de temperatura en un rango relativamente pequeño. Sin embargo, si cambia el calor específico, el enfoque LMTD ya no será preciso.
• Un caso particular para el LMTD son los condensadores y calderines , donde el calor latente asociado al cambio de fase es un caso especial de la hipótesis. Para un condensador, la temperatura de entrada del fluido caliente es equivalente a la temperatura de salida del fluido caliente.
• También se ha supuesto que el coeficiente de transferencia de calor ( U ) es constante y no una función de la temperatura. Si este no es el caso, el enfoque LMTD volverá a ser menos válido
• El LMTD es un concepto de estado estable y no se puede utilizar en análisis dinámicos. En particular, si el LMTD se aplicara en un transitorio en el que, por un breve tiempo, la diferencia de temperatura tuviera diferentes signos en los dos lados del intercambiador, el argumento de la función logarítmica sería negativo, lo cual no es admisible.
• Flujo de estado estacionario,
• Sin cambio de fase durante la transferencia de calor
• Se ignoran los cambios en la energía cinética y la energía potencial.

Referencias

1. "Transferencia de calor básica" . www.swep.net . Consultado el 12 de mayo de 2020 .
2. "Curso web del MIT sobre intercambiadores de calor" . [MIT].

• Kay JM y Nedderman RM (1985) Mecánica de fluidos y procesos de transferencia , Cambridge University Press