Media logarítmica

No debe confundirse con la formulación logarítmica promedio de la media geométrica .

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Gráfico tridimensional que muestra los valores de la media logarítmica.

En matemáticas , la media logarítmica es una función de dos números no negativos que es igual a su diferencia dividida por el logaritmo de su cociente . Este cálculo es aplicable en problemas de ingeniería que involucran transferencia de calor y masa .

Definición

La media logarítmica se define como:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln(y)-\ln(x)}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

para los números positivos .${\displaystyle x,y}$

Desigualdades

La media logarítmica de dos números es menor que la media aritmética y la media generalizada con exponente un tercio, pero mayor que la media geométrica , a menos que los números sean iguales, en cuyo caso las tres medias son iguales a los números.

${\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.}$^{[1] [2] [3]}

Derivación

Teorema del valor medio del cálculo diferencial

Desde el teorema de valor medio , existe un valor en el intervalo entre x y y en el que el derivado es igual a la pendiente de la recta secante :${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

La media logarítmica se obtiene como el valor de sustituyendo para y de manera similar para su correspondiente derivado :${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{x-y}}}$

y resolviendo para :${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln(x)-\ln(y)}}}$

Integración

La media logarítmica también se puede interpretar como el área bajo una curva exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}\end{aligned}}}$

La interpretación del área permite la derivación fácil de algunas propiedades básicas de la media logarítmica. Dado que la función exponencial es monótona , la integral sobre un intervalo de longitud 1 está acotada por y . La homogeneidad del operador integral se transfiere al operador medio, es decir .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}$

Otras dos representaciones integrales útiles son

$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}$$

y

$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}$$

Generalización

Teorema del valor medio del cálculo diferencial

Se puede generalizar la media a las variables considerando el teorema del valor medio para las diferencias divididas para la derivada ésima del logaritmo.${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

Obtenemos

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$

donde denota una diferencia dividida del logaritmo.${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$

Porque esto lleva a${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left(\left(y-z\right)\ln \left(x\right)+\left(z-x\right)\ln \left(y\right)+\left(x-y\right)\ln \left(z\right)\right)}}}}$.

Integral

La interpretación integral también se puede generalizar a más variables, pero conduce a un resultado diferente. Dado el simplex con una medida apropiada que asigna al simplex un volumen de 1, obtenemos${\textstyle S}$${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

Esto se puede simplificar usando diferencias divididas de la función exponencial para

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}$.

Ejemplo ${\textstyle n=2}$

${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}$.

Conexión a otros medios

• Media aritmética :${\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$

• Media geométrica :${\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}$

• Media armónica :${\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

Ver también

• Una media diferente que está relacionada con los logaritmos es la media geométrica .
• La media logarítmica es un caso especial de la media de Stolarsky .
• Diferencia de temperatura media logarítmica
• Registro de semiring

Referencias

Citas

1. BC Carlson (1966). "Algunas desigualdades para funciones hipergeométricas" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 17 : 32–39. doi : 10.1090 / s0002-9939-1966-0188497-6 .
2. B. Ostle y HL Terwilliger (1957). "Una comparación de dos medios". Proc. Montana Acad. Sci . 17 : 69–70.
3. Tung-Po Lin. "La media de potencia y la media logarítmica". The American Mathematical Monthly . doi : 10.1080 / 00029890.1974.11993684 .

Bibliografía

• Glosario de campos petrolíferos: término 'media logarítmica'
• Weisstein, Eric W. "Desigualdad aritmética-logarítmica-geométrica-media" . MathWorld .
• Stolarsky, Kenneth B .: Generalizaciones de la media logarítmica , Mathematics Magazine, vol. 48, núm. 2, marzo de 1975, págs. 87–92