En matemáticas , la media logarítmica es una función de dos números no negativos que es igual a su diferencia dividida por el logaritmo de su cociente . Este cálculo es aplicable en problemas de ingeniería que involucran transferencia de calor y masa .
Gráfico tridimensional que muestra los valores de la media logarítmica.
La media logarítmica se define como:
para los números positivos .
La media logarítmica de dos números es menor que la media aritmética y la media generalizada con exponente un tercio, pero mayor que la media geométrica , a menos que los números sean iguales, en cuyo caso las tres medias son iguales a los números.
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Teorema del valor medio del cálculo diferencial
Del teorema del valor medio , existe un valoren el intervalo entre x y y en el que el derivado dees igual a la pendiente de la recta secante :
La media logarítmica se obtiene como el valor de sustituyendo por y de manera similar para su correspondiente derivada :
y resolviendo para :
Integración
La media logarítmica también se puede interpretar como el área bajo una curva exponencial .
La interpretación del área permite la derivación fácil de algunas propiedades básicas de la media logarítmica. Dado que la función exponencial es monótona , la integral sobre un intervalo de longitud 1 está limitada por y . La homogeneidad del operador integral se transfiere al operador medio, es decir.
Otras dos representaciones integrales útiles son
y Teorema del valor medio del cálculo diferencial
Se puede generalizar el medio para variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para elª derivada del logaritmo.
Obtenemos
dónde denota una diferencia dividida del logaritmo.
Para esto lleva a
- .
Integral
La interpretación integral también se puede generalizar a más variables, pero conduce a un resultado diferente. Dado el simplex con y una medida adecuada que asigna al simplex un volumen de 1, obtenemos
Esto se puede simplificar usando diferencias divididas de la función exponencial para
- .
Ejemplo
- .