Teorema del subgrupo focal
En álgebra abstracta , el teorema del subgrupo focal describe la fusión de elementos en un subgrupo de Sylow de un grupo finito . El teorema del subgrupo focal se introdujo en ( Higman 1953 ) y es la "primera aplicación importante de la transferencia" según ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 90). El teorema del subgrupo focal relaciona las ideas de transferencia y fusión como se describe en ( Grün 1936 ). Varias aplicaciones de estas ideas incluyen criterios locales para p -nilpotencia y varios criterios de no simplicidad que se centran en mostrar que un grupo finito tiene un subgrupo normal deíndice p .
El teorema del subgrupo focal relaciona varias líneas de investigación en la teoría de grupos finitos: subgrupos normales de índice a potencia de p , el homomorfismo de transferencia y fusión de elementos.
Los siguientes tres subgrupos normales de índice a potencia de p se definen naturalmente y surgen como los subgrupos normales más pequeños, de modo que el cociente es (un cierto tipo de) grupo p . Formalmente, son granos de la reflexión sobre la subcategoría reflexiva de p -grupos (respectivamente, elementales abelianos p -Grupos, abelianos p -Grupos).
En primer lugar, como se trata de condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contención. Estas se relacionan además como:
O p ( G ) tiene la siguiente caracterización alternativa como el subgrupo generado por todos los q -subgrupos de G de Sylow cuando q ≠ p varía sobre los divisores primos del orden de G distintos de p .
O p ( G ) se utiliza para definir los inferiores p -seriesde G , al igual que los superiores p -series se describe en p-core .