En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , el índice de un subgrupo H en un grupo G es el número de la izquierda clases laterales de H en G , o equivalentemente, el número de clases laterales derechas de H en G . El índice se denota o o . Debido a que G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas y debido a que cada clase lateral izquierda tiene el mismo tamaño que H , el índice está relacionado con los órdenes de los dos grupos mediante la fórmula
(interprete las cantidades como números cardinales si algunos de ellos son infinitos). Por lo tanto, el índicemide los "tamaños relativos" de G y H .
Por ejemplo, deja ser el grupo de enteros bajo la suma , y seaser el subgrupo formado por los enteros pares . Luego tiene dos cosets en , es decir, el conjunto de enteros pares y el conjunto de enteros impares, por lo que el índice es 2. De manera más general, para cualquier entero positivo n .
Cuando G es finito , la fórmula se puede escribir como, e implica el teorema de Lagrange de que divide .
Cuando G es infinito,es un número cardinal distinto de cero que puede ser finito o infinito. Por ejemplo,, pero es infinito.
Si N es un subgrupo normal de G , entonceses igual al orden del grupo de cocientes , ya que el conjunto subyacente de es el conjunto de clases laterales de N en G .
Propiedades
- Si H es un subgrupo de G y K es un subgrupo de H , entonces
- Si H y K son subgrupos de G , entonces
- con igualdad si . (Si es finito, entonces la igualdad es válida si y solo si .)
- De manera equivalente, si H y K son subgrupos de G , entonces
- con igualdad si . (Si es finito, entonces la igualdad es válida si y solo si .)
- Si G y H son grupos yes un homomorfismo , entonces el índice del núcleo deen G es igual al orden de la imagen:
- Let G ser un grupo que actúa sobre un conjunto X , y dejar que x ∈ X . Entonces la cardinalidad de la órbita de x bajo G es igual al índice del estabilizador de x :
- Esto se conoce como el teorema del estabilizador de órbita .
- Como caso especial del teorema del estabilizador de órbita, el número de conjugados de un elemento es igual al índice de la centralizador de x en G .
- Del mismo modo, el número de conjugados de un subgrupo H en G es igual al índice de la normalizador de H en G .
- Si H es un subgrupo de G , el índice del núcleo normal de H satisface la siguiente desigualdad:
- dónde ! denota la función factorial ; esto se analiza más adelante .
- Como corolario, si el índice de H en G es 2, o para un grupo finito el primo más bajo p que divide el orden de G, entonces H es normal, ya que el índice de su núcleo también debe ser p, y por lo tanto H es igual a su núcleo, es decir, es normal.
- Tenga en cuenta que es posible que no exista un subgrupo de índice principal más bajo, como en cualquier grupo simple de orden no principal, o más generalmente en cualquier grupo perfecto .
Ejemplos de
- El grupo alterno tiene índice 2 en el grupo simétrico y por lo tanto es normal.
- El grupo ortogonal especial tiene índice 2 en el grupo ortogonal , y por lo tanto es normal.
- El grupo abeliano libre tiene tres subgrupos del índice 2, a saber
- .
- De manera más general, si p es primo, entonces posee subgrupos del índice p , correspondientes a lahomomorfismos no triviales . [ cita requerida ]
- Del mismo modo, el grupo libre posee subgrupos del índice p .
- El grupo diedro infinito tiene un subgrupo cíclico de índice 2, que es necesariamente normal.
Índice infinito
Si H tiene un número infinito de clases laterales en G , entonces se dice que el índice de H en G es infinito. En este caso, el índicees en realidad un número cardinal . Por ejemplo, el índice de H en G puede ser contable o incontable , dependiendo de si H tiene un número contable de clases laterales en G . Tenga en cuenta que el índice de H es como máximo el orden de G, que se realiza para el subgrupo trivial, o de hecho cualquier subgrupo H de cardinalidad infinita menor que el de G.
Índice finito
Un grupo infinito G puede tener subgrupos H de índice finito (por ejemplo, los enteros pares dentro del grupo de enteros). Tal subgrupo siempre contiene un subgrupo normal N (de G ), también de índice finito. De hecho, si H tiene un índice n , entonces el índice de N puede tomarse como algún factor de n !; De hecho, N puede ser tomado para ser el núcleo de la homomorfismo natural a partir de G al grupo permutación de las clases laterales izquierda (o derecha) de H .
Un caso especial, n = 2, da el resultado general de que un subgrupo del índice 2 es un subgrupo normal, porque el subgrupo normal ( N arriba) debe tener el índice 2 y, por lo tanto, ser idéntico al subgrupo original. De manera más general, un subgrupo del índice p donde p es el factor primo más pequeño del orden de G (si G es finito) es necesariamente normal, ya que el índice de N divide p ! y por lo tanto debe ser igual a p, sin otros factores primos.
Una prueba alternativa del resultado de que el subgrupo del índice más bajo primo p es normal, y otras propiedades de los subgrupos del índice primo se dan en ( Lam 2004 ).
Ejemplos de
Las consideraciones anteriores también son válidas para grupos finitos. Por ejemplo, el grupo O de simetría octaédrica quiral tiene 24 elementos. Tiene un diedro D 4 subgrupo (de hecho tiene tres tales) de orden 8, y por lo tanto de índice 3 en O , que llamaremos H . Este grupo tiene un diedro 4-miembro de D 2 subgrupo, que podemos llamar A . Al multiplicar a la derecha cualquier elemento de una clase lateral derecha de H por un elemento de A, se obtiene un miembro de la misma clase lateral de H ( Hca = Hc ). A es normal en O . Hay seis clases laterales de A , correspondientes a los seis elementos del grupo simétrico S 3 . Todos los elementos de cualquier clase lateral particular de A realizan la misma permutación de las clases laterales de H .
Por otro lado, el grupo T h de simetría piritoédrica también tiene 24 miembros y un subgrupo de índice 3 (esta vez es un grupo de simetría prismática D 2h , ver grupos de puntos en tres dimensiones ), pero en este caso todo el subgrupo es un subgrupo normal. Todos los miembros de una clase lateral concreta realizan la misma permutación de estas clases laterales, pero en este caso sólo representan el grupo alterno de 3 elementos en el grupo simétrico S 3 de 6 miembros .
Subgrupos normales del índice de poder principal
Los subgrupos normales del índice de potencia principal son núcleos de mapas sobreyectivos a p -grupos y tienen una estructura interesante, como se describe en Teorema de subgrupos focales: Subgrupos y elaborado en el teorema de subgrupos focales .
Hay tres subgrupos normales importantes de índice de poder principal, cada uno de los cuales es el subgrupo normal más pequeño en una determinada clase:
- E p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales del índice p ; G / E p ( G ) es un grupo abeliano elemental , y es el grupo p abeliano elemental más grande en el que G se sobreyecta.
- A p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K tal que G / K es un p -grupo abeliano (es decir, K es un índice subgrupo normal que contiene el grupo derivado ): G / A p ( G ) es el grupo p abeliano más grande (no necesariamente elemental) sobre el que G se sobreyecta.
- O p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K de G tal que G / K es un grupo p (posiblemente no abeliano) (es decir, K es un índice normal subgroup): G/Op(G) is the largest p-group (not necessarily abelian) onto which G surjects. Op(G) is also known as the p-residual subgroup.
As these are weaker conditions on the groups K, one obtains the containments
These groups have important connections to the Sylow subgroups and the transfer homomorphism, as discussed there.
Geometric structure
An elementary observation is that one cannot have exactly 2 subgroups of index 2, as the complement of their symmetric difference yields a third. This is a simple corollary of the above discussion (namely the projectivization of the vector space structure of the elementary abelian group
- ,
and further, G does not act on this geometry, nor does it reflect any of the non-abelian structure (in both cases because the quotient is abelian).
However, it is an elementary result, which can be seen concretely as follows: the set of normal subgroups of a given index p form a projective space, namely the projective space
In detail, the space of homomorphisms from G to the (cyclic) group of order p, is a vector space over the finite field A non-trivial such map has as kernel a normal subgroup of index p, and multiplying the map by an element of (a non-zero number mod p) does not change the kernel; thus one obtains a map from
to normal index p subgroups. Conversely, a normal subgroup of index p determines a non-trivial map to up to a choice of "which coset maps to which shows that this map is a bijection.
As a consequence, the number of normal subgroups of index p is
for some k; corresponds to no normal subgroups of index p. Further, given two distinct normal subgroups of index p, one obtains a projective line consisting of such subgroups.
For the symmetric difference of two distinct index 2 subgroups (which are necessarily normal) gives the third point on the projective line containing these subgroups, and a group must contain index 2 subgroups – it cannot contain exactly 2 or 4 index 2 subgroups, for instance.
Ver también
- Virtually
- Codimension
Referencias
- Lam, T. Y. (March 2004), "On Subgroups of Prime Index", The American Mathematical Monthly, 111 (3): 256–258, JSTOR 4145135, alternative downloadCS1 maint: postscript (link)
enlaces externos
- Normality of subgroups of prime index at PlanetMath.
- "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki