Dipolo magnético

El campo magnético debido a dipolos magnéticos naturales (arriba a la izquierda), monopolos magnéticos (arriba a la derecha), una corriente eléctrica en un bucle circular (abajo a la izquierda) o en un solenoide (abajo a la derecha). Todos generan el mismo perfil de campo cuando la disposición es infinitesimalmente pequeña. ^[1]

Un dipolo magnético es el límite de un bucle cerrado de corriente eléctrica o de un par de polos, ya que el tamaño ^{[ aclaración necesaria ]} de la fuente se reduce a cero mientras se mantiene constante el momento magnético . Es un análogo magnético del dipolo eléctrico , pero la analogía no es perfecta. En particular, nunca se ha observado un monopolo magnético , el análogo magnético de una carga eléctrica . Además, una forma de momento dipolar magnético está asociada con una propiedad cuántica fundamental: el giro de las partículas elementales .

El campo magnético alrededor de cualquier fuente magnética se parece cada vez más al campo de un dipolo magnético a medida que aumenta la distancia desde la fuente.

Campo magnético externo producido por un momento dipolar magnético

Un análogo electrostático para un momento magnético: dos cargas opuestas separadas por una distancia finita. Cada flecha representa la dirección del vector de campo en ese punto.

El campo magnético de un bucle de corriente. El anillo representa el bucle actual, que entra en la página en la x y sale en el punto.

En la física clásica , el campo magnético de un dipolo se calcula como el límite de un bucle de corriente o un par de cargas cuando la fuente se reduce a un punto mientras se mantiene constante el momento magnético m . Para el bucle de corriente, este límite se deriva más fácilmente para el potencial vectorial . Fuera de la región de origen, este potencial es (en unidades SI ) ^[2]

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

donde μ ₀ es la constante de permeabilidad al vacío y 4 π r ² es la superficie de una esfera de radio r ;

y la densidad de flujo magnético (fuerza del campo B) en teslas es ^[2]

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

De manera equivalente, si es el vector unitario en la dirección de ^[3]${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle \mathbf {r} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

En coordenadas esféricas con el momento magnético alineado con el eje z, si usamos , esta relación se puede expresar como${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \cos \theta -\mathbf {\hat {z}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Alternativamente, se puede obtener el potencial escalar primero del límite del polo magnético,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

y por lo tanto, la fuerza del campo magnético (o la fuerza del campo H) en amperios-vueltas por metro es

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}.}$

El campo magnético es simétrico bajo rotaciones alrededor del eje del momento magnético.

Campo magnético interno de un dipolo

Ver también: Momento magnético § Definición de polo magnético

Los dos modelos para un dipolo (bucle de corriente y polos magnéticos) dan las mismas predicciones para el campo magnético lejos de la fuente. Sin embargo, dentro de la región de origen dan diferentes predicciones. El campo magnético entre los polos está en la dirección opuesta al momento magnético (que apunta de la carga negativa a la carga positiva), mientras que dentro de un bucle de corriente está en la misma dirección (ver la figura de la derecha). Claramente, los límites de estos campos también deben ser diferentes a medida que las fuentes se reducen a tamaño cero. Esta distinción solo importa si el límite del dipolo se usa para calcular los campos dentro de un material magnético.

Si se forma un dipolo magnético haciendo un bucle de corriente cada vez más pequeño, pero manteniendo constante el producto de la corriente y el área, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac en tres dimensiones. A diferencia de las expresiones de la sección anterior, este límite es correcto para el campo interno del dipolo.

Si un dipolo magnético se forma tomando un "polo norte" y un "polo sur", acercándolos cada vez más, pero manteniendo constante el producto de la carga del polo magnético y la distancia, el campo límite es

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

Estos campos están relacionados por B = μ ₀ ( H + M ) , donde

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

es la magnetización .

Fuerzas entre dos dipolos magnéticos

Ver también: Fuerza entre imanes § Interacción dipolo-dipolo magnético

La fuerza F ejercida por un momento dipolar m ₁ sobre otro m ₂ separado en el espacio por un vector r se puede calcular usando: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

o ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

donde r es la distancia entre dipolos. La fuerza que actúa sobre m ₁ está en la dirección opuesta.

El par se puede obtener de la fórmula

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Campos dipolares de fuentes finitas

Ver también: campo cercano y lejano

El potencial escalar magnético ψ producido por una fuente finita, pero externa a ella, puede representarse mediante una expansión multipolar . Cada término en la expansión está asociado con un momento característico y un potencial que tiene una tasa característica de disminución con la distancia r desde la fuente. Los momentos monopolares tienen una tasa de disminución de 1 / r , los momentos dipolares tienen una tasa de 1 / r ² , los momentos cuadrupolos tienen una tasa de 1 / r ³tasa, y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el orden, más rápido se reduce el potencial. Dado que el término de orden más bajo observado en fuentes magnéticas es el término dipolar, domina a grandes distancias. Por lo tanto, a grandes distancias, cualquier fuente magnética parece un dipolo del mismo momento magnético .

Notas

1. ES Grant, WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2ª ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
2. Chow , 2006 , págs. 146-150.
3. Jackson 1975 , p. 182
4. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson. pag. 276. ISBN 978-81-7758-293-2.
5. Furlani 2001 , p. 140
6. KW Yung; PB Landecker; DD Villani (1998). "Una solución analítica para la fuerza entre dos dipolos magnéticos" (PDF) . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .

Referencias

• Chow, Tai L. (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna . Jones y Bartlett Learning . ISBN 978-0-7637-3827-3.
• Jackson, John D. (1975). Electrodinámica clásica (2ª ed.). Wiley . ISBN 0-471-43132-X.
• Furlani, Edward P. (2001). Dispositivos electromagnéticos y de imanes permanentes: materiales, análisis y aplicaciones . Prensa académica . ISBN 0-12-269951-3.
• Schill, RA (2003). "Relación general para el campo magnético vectorial de un bucle de corriente circular: una mirada más cercana". Transacciones IEEE sobre magnetismo . 39 (2): 961–967. Código Bibliográfico : 2003ITM .... 39..961S . doi : 10.1109 / TMAG.2003.808597 .