Función L
En matemáticas, un L -Función es un meromorphic función en el plano complejo , asociado a una de varias categorías de objetos matemáticos . Un L -series es una serie de Dirichlet , generalmente convergente en un semiplano , que pueden dar lugar a una L -Función través continuación analítica . La función zeta de Riemann es un ejemplo de una función L , y una conjetura importante que involucra funciones L es la hipótesis de Riemann y sugeneralización .
La teoría de las funciones L se ha convertido en una parte muy sustancial, y todavía en gran medida conjetural , de la teoría analítica de números contemporánea . En ella, las generalizaciones de la función zeta de Riemann y los L -series de un carácter de Dirichlet se construyen, y sus propiedades generales, en la mayoría de los casos todavía fuera del alcance de la prueba, se exponen de una manera sistemática. Debido a la fórmula del producto de Euler, existe una profunda conexión entre las funciones L y la teoría de los números primos .
Se distinguen, en primer lugar entre los L -series , una infinita representación en serie (por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta de Riemann ), y la L -función , la función en el plano complejo que es su continuación analítica . Las construcciones generales comienzan con una serie L , definida primero como una serie de Dirichlet , y luego por una expansión como un producto de Euler.indexado por números primos. Se requieren estimaciones para demostrar que esto converge en algún semiplano derecho de los números complejos. Entonces uno pregunta si la función así definida puede continuar analíticamente al resto del plano complejo (quizás con algunos polos ).
Es esta (conjetural) meromorphic continuación al plano complejo que se llama un L -Función. En los casos clásicos, ya se sabe que la información útil está contenida en los valores y el comportamiento de la función L en los puntos donde la representación de la serie no converge. El término general función L aquí incluye muchos tipos conocidos de funciones zeta. La clase Selberg es un intento de capturar las propiedades centrales de las funciones L en un conjunto de axiomas, fomentando así el estudio de las propiedades de la clase en lugar de las funciones individuales.
Se pueden enumerar características de ejemplos conocidos de funciones L que desearía ver generalizadas:
El trabajo detallado ha producido una gran cantidad de conjeturas plausibles, por ejemplo, sobre el tipo exacto de ecuación funcional que debería aplicarse. Dado que la función zeta de Riemann se conecta a través de sus valores en enteros pares positivos (y enteros impares negativos) con los números de Bernoulli , se busca una generalización apropiada de ese fenómeno. En ese caso, se han obtenido resultados para las funciones p -ádicas L , que describen ciertos módulos de Galois .
