En teoría de números , el teorema de Maier ( Maier 1985 ) es un teorema sobre los números de primos en intervalos cortos para los cuales el modelo probabilístico de primos de Cramér da una respuesta incorrecta.
El teorema establece que si π es la función de conteo prima y λ es mayor que 1, entonces
no tiene límite ya que x tiende a infinito; más precisamente el límite superior es mayor que 1, y el límite inferior es menor que 1. El modelo de números primos de Cramér predice incorrectamente que tiene límite 1 cuando λ≥2 (usando el lema de Borel-Cantelli ).
Pruebas
Maier demostró su teorema usando el equivalente de Buchstab para la función de conteo de cuasi-primos (conjunto de números sin factores primos inferior al límite, reparado). También usó un equivalente al número de números primos en progresiones aritméticas de suficiente longitud debido a Gallagher .
Pintz (2007) dio otra prueba y también mostró que la mayoría de los modelos probabilísticos de números primos predicen incorrectamente el error cuadrático medio
de una versión del teorema de los números primos .
Referencias
- Maier, Helmut (1985), "Primes in short interval" , The Michigan Mathematical Journal , 32 (2): 221-225, doi : 10.1307 / mmj / 1029003189 , ISSN 0026-2285 , MR 0783576 , Zbl 0569.10023
- Pintz, János (2007), "Cramér vs. Cramér. Sobre el modelo probabilístico de Cramér para números primos" , Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici , 37 : 361–376, doi : 10.7169 / facm / 1229619660 , ISSN 0208-6573 , MR 2363833 , Zbl 1226.11096
- Soundararajan, K. (2007), "La distribución de números primos", en Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (eds.), Equidistribution in Number Theory , una introducción. Actas del Instituto de estudios avanzados de la OTAN sobre la equidistribución en la teoría de números, Montreal, Canadá, 11 al 22 de julio de 2005 , Serie de ciencias de la OTAN II: Matemáticas, física y química, 237 , Dordrecht: Springer-Verlag , págs. ISBN 978-1-4020-5403-7, Zbl 1141.11043