Límites superior e inferior
En matemáticas, en particular en teoría de la orden , un límite superior o mayorante [1] de un subconjunto S de algún conjunto preordenado ( K , ≤) es un elemento de K que es mayor que o igual a todos los elementos de S . [2] [3] Dually , un límite inferior o minorant de S se define para ser un elemento de K que es menor que o igual a todos los elementos de S . Un conjunto con un límite superior (respectivamente, inferior) se dice que esacotado desde arriba o mayorizado [1] (respectivamente acotado desde abajo o minorizado ) por ese límite. Los términos acotados arriba ( acotados abajo ) también se usan en la literatura matemática para conjuntos que tienen límites superiores (respectivamente inferiores). [4]
Por ejemplo, 5 es un límite inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como un subconjunto de los enteros o de los números reales , etc.), y también lo es 4 . Por otro lado, 6 no un inferior está unido por S , ya que no es menor que cada elemento en S .
El conjunto S = {42} tiene 42 como límite superior y límite inferior; todos los demás números son o bien un límite superior o un límite inferior para que S .
Cada subconjunto de números naturales tiene un límite inferior ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de números naturales no se puede acotar desde arriba. Un subconjunto infinito de números enteros puede estar acotado desde abajo o desde arriba, pero no ambos. Un subconjunto infinito de números racionales puede o no estar acotado desde abajo, y puede o no estar acotado desde arriba.
Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado ( K , ≤) como codomain , un elemento y de K es un límite superior de f si y ≥ f ( x ) para cada x en D . El límite superior se llama agudo si la igualdad se mantiene para al menos un valor de x . Indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad.
Del mismo modo, la función g definida en el dominio D y que tienen el mismo codomain ( K , ≤) es una cota superior de f , si g ( x ) ≥ f ( x ) para cada x en D . Se dice además que la función g es un límite superior de un conjunto de funciones, si es un límite superior de cada función en ese conjunto.
