Una martingala es cualquiera de una clase de estrategias de apuestas que se originaron y fueron populares en la Francia del siglo XVIII . La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana la apuesta si una moneda sale cara y pierde si sale cruz. La estrategia hacía que el jugador duplicara la apuesta después de cada pérdida, de modo que la primera ganancia recuperaría todas las pérdidas anteriores y obtendría una ganancia igual a la apuesta original.
Dado que es casi seguro que un jugador finalmente voltee la cabeza , la estrategia de apuestas martingala seguramente hará ganar dinero para el jugador siempre que tenga una riqueza infinita y no haya límite en el dinero ganado en una sola apuesta. Sin embargo, ningún jugador posee una riqueza infinita, y el crecimiento exponencial de las apuestas puede llevar a la quiebra a los jugadores desafortunados que opten por utilizar la martingala, provocando una pérdida catastrófica. A pesar de que el jugador generalmente gana una pequeña recompensa neta, por lo que parece tener una estrategia sólida, el valor esperado del jugador sigue siendo cero porque la pequeña probabilidad de que el jugador sufra una pérdida catastrófica se equilibra exactamente con la ganancia esperada. En un casino, el valor esperado es negativo, debido a la ventaja de la casa. Además, como la probabilidad de una serie de pérdidas consecutivas ocurre con más frecuencia de lo que sugiere la intuición común, las estrategias de martingala pueden llevar a un jugador a la bancarrota rápidamente.
La estrategia de martingala también se ha aplicado a la ruleta , ya que la probabilidad de acertar al rojo o al negro es cercana al 50%.
Análisis intuitivo
La razón fundamental por la que fallan todos los sistemas de apuestas tipo martingala es que no se puede utilizar ninguna cantidad de información sobre los resultados de las apuestas pasadas para predecir los resultados de una apuesta futura con mayor precisión que el azar. En terminología matemática, esto corresponde a la suposición de que los resultados de ganar-perder de cada apuesta son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , una suposición que es válida en muchas situaciones realistas. De esta suposición se deduce que el valor esperado de una serie de apuestas es igual a la suma, sobre todas las apuestas que podrían ocurrir potencialmente en la serie, del valor esperado de una apuesta potencial multiplicada por la probabilidad de que el jugador haga esa apuesta. En la mayoría de los juegos de casino, el valor esperado de cualquier apuesta individual es negativo, por lo que la suma de muchos números negativos también será siempre negativa.
La estrategia de martingala falla incluso con un tiempo de parada ilimitado, siempre que haya un límite en las ganancias o en las apuestas (lo que también es cierto en la práctica). [1] Es solo con una riqueza ilimitada, apuestas y tiempo que se podría argumentar que la martingala se convierte en una estrategia ganadora .
Análisis matemático
La imposibilidad de ganar a largo plazo, dado un límite en el tamaño de las apuestas o un límite en el tamaño de los fondos o la línea de crédito de uno, se prueba mediante el teorema de parada opcional . [1]
Sin embargo, sin estos límites, la estrategia de apuestas martingala seguramente generará dinero para el jugador porque la posibilidad de que al menos un lanzamiento de moneda salga cara se acerca a uno a medida que el número de lanzamientos de moneda se acerca al infinito.
Análisis matemático de una sola ronda
Dejemos que una ronda se defina como una secuencia de pérdidas consecutivas seguidas de una victoria o la quiebra del jugador. Después de una victoria, el jugador se "reinicia" y se considera que ha comenzado una nueva ronda. Así, una secuencia continua de apuestas de martingala se puede dividir en una secuencia de rondas independientes. A continuación se muestra un análisis del valor esperado de una ronda.
Sea q la probabilidad de perder (por ejemplo, para la ruleta americana doble cero, es 20/38 para una apuesta al negro o al rojo). Sea B el monto de la apuesta inicial. Sea n el número finito de apuestas que el jugador puede permitirse perder.
La probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas es q n . Cuando todas las apuestas pierden, la pérdida total es
La probabilidad de que el jugador no pierda todas las n apuestas es 1 - q n . En todos los demás casos, el jugador gana la apuesta inicial ( B ). Por lo tanto, la ganancia esperada por ronda es
Siempre que q > 1/2, la expresión 1 - (2 q ) n <0 para todo n > 0. Por lo tanto, para todos los juegos en los que un jugador tiene más probabilidades de perder que de ganar una apuesta determinada, se espera que ese jugador pierda dinero, en promedio, cada ronda. Aumentar el tamaño de la apuesta para cada ronda según el sistema de martingala solo sirve para aumentar la pérdida promedio.
Suponga que un jugador tiene un fondo de juego de 63 unidades. El jugador puede apostar 1 unidad en el primer giro. En cada pérdida, la apuesta se duplica. Por lo tanto, tomando k como el número de pérdidas consecutivas precedentes, el jugador siempre apostará 2 k unidades.
Con una ganancia en cualquier giro dado, el jugador obtendrá una unidad neta sobre la cantidad total apostada hasta ese punto. Una vez que se logra esta ganancia, el jugador reinicia el sistema con una apuesta de 1 unidad.
Con pérdidas en los primeros seis giros, el jugador pierde un total de 63 unidades. Esto agota los fondos y la martingala no puede continuar.
En este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar con la martingala es igual a la probabilidad de 6 pérdidas consecutivas: (10/19) 6 = 2.1256%. La probabilidad de ganar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6 veces: 1 - (10/19) 6 = 97,8744%.
La cantidad esperada ganada es (1 × 0,978744) = 0,978744.
La cantidad esperada perdida es (63 × 0.021256) = 1.339118.
Por lo tanto, el valor total esperado para cada aplicación del sistema de apuestas es (0.978744 - 1.339118) = −0.360374.
En una circunstancia única, esta estrategia puede tener sentido. Suponga que el jugador posee exactamente 63 unidades pero necesita desesperadamente un total de 64. Suponiendo que q > 1/2 (es un casino real) y que solo puede hacer apuestas con probabilidades iguales, su mejor estrategia es el juego audaz : en cada giro, debe apostar la cantidad más pequeña de modo que si gana alcance su objetivo de inmediato, y si no tiene suficiente para esto, simplemente debe apostar todo. Eventualmente, o se arruina o alcanza su objetivo. Esta estrategia le da una probabilidad del 97.8744% de lograr el objetivo de ganar una unidad frente a una probabilidad del 2.1256% de perder las 63 unidades, y esa es la mejor probabilidad posible en esta circunstancia. [2] Sin embargo, el juego audaz no siempre es la estrategia óptima para tener la mayor oportunidad posible de aumentar un capital inicial a una cantidad mayor deseada. Si el jugador puede apostar cantidades arbitrariamente pequeñas con probabilidades arbitrariamente largas (pero aún con la misma pérdida esperada de 10/19 de la apuesta en cada apuesta), y solo puede realizar una apuesta en cada giro, entonces existen estrategias con más del 98% posibilidades de lograr su objetivo, y estos utilizan un juego muy tímido a menos que el jugador esté cerca de perder todo su capital, en cuyo caso cambia a un juego extremadamente audaz. [3]
Análisis matemático alternativo
El análisis anterior calcula el valor esperado , pero podemos hacer otra pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que uno pueda jugar un juego de casino usando la estrategia de martingala y evitar la racha perdedora el tiempo suficiente para duplicar su bankroll?
Como antes, esto depende de la probabilidad de perder 6 giros de ruleta seguidos suponiendo que apostamos rojo / negro o par / impar. Muchos apostadores creen que las posibilidades de perder 6 seguidas son remotas y que con una adherencia paciente a la estrategia, aumentarán lentamente sus fondos.
En realidad, las probabilidades de una racha de 6 derrotas seguidas son mucho más altas de lo que mucha gente cree intuitivamente. Los estudios psicológicos han demostrado que, dado que las personas saben que las probabilidades de perder 6 veces seguidas de 6 jugadas son bajas, asumen incorrectamente que en una serie de jugadas más largas las probabilidades también son muy bajas. Cuando se les pide a las personas que inventen datos que representen 200 lanzamientos de monedas, a menudo no agregan rayas de más de 5 porque creen que estas rayas son muy poco probables. [4] Esta creencia intuitiva a veces se denomina heurística de representatividad .
Anti-martingala
En un estilo clásico de apuestas martingala, los jugadores aumentan las apuestas después de cada pérdida con la esperanza de que una eventual victoria recupere todas las pérdidas anteriores. El enfoque anti-martingala, también conocido como martingala inversa, aumenta las apuestas después de las ganancias, mientras que las reduce después de una pérdida. La percepción es que el jugador se beneficiará de una racha ganadora o de una "mano caliente", mientras reduce las pérdidas mientras está "frío" o tiene una racha perdedora. Como las apuestas individuales son independientes entre sí (y de las expectativas del jugador), el concepto de "rachas" ganadoras es simplemente un ejemplo de la falacia del jugador , y la estrategia anti-martingala no genera ningún beneficio. Si, por otro lado, los rendimientos de las acciones de la vida real están correlacionados en serie (por ejemplo, debido a los ciclos económicos y la reacción retardada a las noticias de los participantes más importantes del mercado), las "rachas" de ganancias o pérdidas ocurren con más frecuencia y son más largas que las de proceso puramente aleatorio, la estrategia anti-martingala podría aplicarse teóricamente y puede usarse en sistemas comerciales (como seguimiento de tendencias o "duplicación"). (Pero vea también el promedio de costos en dólares ).
Ver también
Referencias
- ^ a b Michael Mitzenmacher; Eli Upfal (2005), Probabilidad y computación: algoritmos aleatorios y análisis probabilístico , Cambridge University Press, p. 298, ISBN 978-0-521-83540-4, archivado desde el original el 13 de octubre de 2015
- ^ Lester E. Dubins ; Leonard J. Savage (1965), Cómo apostar si es necesario: desigualdades para procesos estocásticos , McGraw Hill
- ^ Larry Shepp (2006), Juego audaz y la política óptima para el casino de Vardi, págs. 150–156 en: Random Walk, Sequential Analysis and Related Topics , World Scientific
- ^ Martin, Frank A. (febrero de 2009). "¿Cuáles eran las probabilidades de tener una racha tan terrible en el casino?" (PDF) . WizardOfOdds.com . Consultado el 31 de marzo de 2012 .