En la teoría de la probabilidad , el teorema de la representación de martingala establece que una variable aleatoria que es medible con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano se puede escribir en términos de una integral de Itô con respecto a este movimiento browniano.
El teorema solo afirma la existencia de la representación y no ayuda a encontrarla explícitamente; En muchos casos es posible determinar la forma de la representación utilizando el cálculo de Malliavin .
También existen teoremas similares para martingalas sobre filtraciones inducidas por procesos de salto , por ejemplo, por cadenas de Markov .
Declaración
Dejar ser un movimiento browniano en un espacio de probabilidad filtrado estándar y deja ser la filtración aumentada generada por. Si X es una variable aleatoria integrable cuadrada medible con respecto a, entonces existe un proceso predecible C que se adapta con respecto a, tal que
Como consecuencia,
Aplicación en finanzas
El teorema de la representación de martingala se puede utilizar para establecer la existencia de una estrategia de cobertura . Suponer quees un proceso Q-martingala, cuya volatilidad siempre es distinto de cero. Entonces sí es cualquier otra Q-martingala, existe una -proceso previsible , único hasta conjuntos de medida 0, de modo que con probabilidad uno, y N se puede escribir como:
La estrategia de replicación se define como:
- mantener unidades del stock en el momento t , y
- mantener unidades del bono.
dónde es el precio de las acciones descontado por el precio del bono a tiempo y es la recompensa esperada de la opción en el momento .
En el día de vencimiento T , el valor de la cartera es:
y es fácil comprobar que la estrategia es autofinanciada: el cambio en el valor de la cartera solo depende del cambio de los precios de los activos .
Referencias
- Montin, Benoît. (2002) "Stochastic Processes Applied in Finance" [ se necesita cita completa ]
- Elliott, Robert (1976) "Integrales estocásticas para martingalas de un proceso de salto con tiempos de salto parcialmente accesibles", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 36, 213-226