En mecánica analítica , la matriz de masas es una matriz simétrica M que expresa la conexión entre la derivada del tiempo del vector de coordenadas generalizado q de un sistema y la energía cinética T de ese sistema, por la ecuación
dónde denota la transposición del vector. [1] Esta ecuación es análoga a la fórmula para la energía cinética de una partícula con masay velocidad v , a saber
y puede derivarse de él, expresando la posición de cada partícula del sistema en términos de q .
En general, la matriz de masas M depende del estado q y, por tanto, varía con el tiempo.
La mecánica lagrangiana produce una ecuación diferencial ordinaria (en realidad, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas) que describe la evolución de un sistema en términos de un vector arbitrario de coordenadas generalizadas que define completamente la posición de cada partícula en el sistema. La fórmula de energía cinética anterior es un término de esa ecuación, que representa la energía cinética total de todas las partículas.
Sistema unidimensional de dos cuerpos
Sistema de masas en una dimensión espacial.
Por ejemplo, considere un sistema que consta de dos masas puntuales confinadas a una pista recta. El estado de esos sistemas puede describirse mediante un vector q de dos coordenadas generalizadas, es decir, las posiciones de las dos partículas a lo largo de la pista.
- .
Suponiendo que las partículas tienen masas m 1 , m 2 , la energía cinética del sistema es
Esta fórmula también se puede escribir como
dónde
Sistema de cuerpo N
De manera más general, considere un sistema de N partículas etiquetadas por un índice i = 1, 2,…, N , donde la posición del número de partículas i está definida por n i coordenadas cartesianas libres (donde n i es 1, 2 o 3) . Sea q el vector columna que comprende todas esas coordenadas. La matriz de masas M es la matriz de bloques diagonales donde en cada bloque los elementos diagonales son la masa de la partícula correspondiente: [2]
donde I n i es la matriz identidad n i × n i , o más completamente:
Mancuerna giratoria
Para un ejemplo menos trivial, considere dos objetos en forma de puntos con masas m 1 , m 2 , unidos a los extremos de una barra rígida sin masa con longitud 2 R , siendo el conjunto libre para girar y deslizarse sobre un plano fijo. El estado del sistema se puede describir mediante el vector de coordenadas generalizado
donde x , y son las coordenadas cartesianas del punto medio de la barra y α es el ángulo de la barra desde alguna dirección de referencia arbitraria. Las posiciones y velocidades de las dos partículas son
y su energía cinética total es
dónde y . Esta fórmula se puede escribir en forma de matriz como
dónde
Tenga en cuenta que la matriz depende del ángulo actual α de la barra.
Para aproximaciones discretas de la mecánica del continuo como en el método de elementos finitos , puede haber más de una forma de construir la matriz de masa, dependiendo de la precisión y el rendimiento computacionales deseados. Por ejemplo, un método de masa concentrada, en el que se ignora la deformación de cada elemento, crea una matriz de masa diagonal y niega la necesidad de integrar masa a través del elemento deformado.