- Para el tensor de rigidez en mecánica de sólidos, consulte la ley de Hooke # Representación matricial (tensor de rigidez) .
En el método de elementos finitos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , la matriz de rigidez representa el sistema de ecuaciones lineales que deben resolverse para determinar una solución aproximada de la ecuación diferencial.
La matriz de rigidez para el problema de Poisson
Para simplificar, primero consideraremos el problema de Poisson
en algún dominio Ω, sujeto a la condición de límite u = 0 en el límite de Ω. Para discretizar esta ecuación por el método de los elementos finitos, se elige un conjunto de funciones base { φ 1 , ..., φ n } definidas en Ω que también desaparecen en el límite. Entonces uno se aproxima
Los coeficientes u 1 , ..., u n se determinan de manera que el error en la aproximación sea ortogonal a cada función base φ i :
La matriz de rigidez es la matriz cuadrada de n elementos A definida por
Definiendo el vector F con componentes, Los coeficientes u i son determinados por el sistema lineal Au = F . La matriz de rigidez es simétrica, es decir, A ij = A ji , por lo que todos sus valores propios son reales. Además, es una matriz definida estrictamente positiva , por lo que el sistema Au = F siempre tiene una solución única. (Para otros problemas, estas bonitas propiedades se perderán).
Tenga en cuenta que la matriz de rigidez será diferente según la cuadrícula computacional utilizada para el dominio y el tipo de elemento finito que se utilice. Por ejemplo, la matriz de rigidez cuando se utilizan elementos finitos cuadráticos por partes tendrá más grados de libertad que los elementos lineales por partes.
La matriz de rigidez para otros problemas
La determinación de la matriz de rigidez para otras PDE sigue esencialmente el mismo procedimiento, pero puede complicarse por la elección de las condiciones de contorno. Como un ejemplo más complejo, considere la ecuación elíptica
donde A ( x ) = a kl ( x ) es una matriz definida positiva definida para cada punto x en el dominio. Imponemos la condición de frontera de Robin
donde ν k es la componente del vector normal unitario hacia afuera ν en la k -ésima dirección. El sistema a resolver es
como se puede demostrar usando un análogo de la identidad de Green. Los coeficientes u i todavía se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, pero la matriz que representa el sistema es marcadamente diferente de la del problema de Poisson ordinario.
En general, a cada operador elíptico escalar L de orden 2 k , se le asocia una forma bilineal B en el espacio de Sobolev H k , por lo que la formulación débil de la ecuación Lu = f es
para todas las funciones v en H k . Entonces la matriz de rigidez para este problema es
Práctico montaje de la matriz de rigidez
Para implementar el método de elementos finitos en una computadora, primero se debe elegir un conjunto de funciones base y luego calcular las integrales que definen la matriz de rigidez. Por lo general, el dominio Ω se discretiza mediante alguna forma de generación de malla , en la que se divide en triángulos o cuadriláteros que no se superponen, que generalmente se denominan elementos. Luego, las funciones base se eligen para que sean polinomios de algún orden dentro de cada elemento y continuas a través de los límites del elemento. Las opciones más simples son lineales por partes para elementos triangulares y bilineales por partes para elementos rectangulares.
La matriz de rigidez del elemento A [ k ] para el elemento T k es la matriz
La matriz de rigidez del elemento es cero para la mayoría de los valores de i y j, para los cuales las funciones de base correspondientes son cero dentro de T k . La matriz de rigidez completa A es la suma de las matrices de rigidez de los elementos. En particular, para las funciones básicas que solo se admiten localmente, la matriz de rigidez es escasa .
Para muchas opciones estándar de funciones de base, es decir, funciones de base lineal por partes sobre triángulos, existen fórmulas simples para las matrices de rigidez de elementos. Por ejemplo, para elementos lineales por partes, considere un triángulo con vértices ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 3 ) y defina la matriz 2 × 3
Entonces la matriz de rigidez del elemento es
Cuando la ecuación diferencial es más complicada, digamos por tener un coeficiente de difusión no homogéneo, la integral que define la matriz de rigidez del elemento puede evaluarse mediante cuadratura gaussiana .
El número de condición de la matriz de rigidez depende en gran medida de la calidad de la cuadrícula numérica. En particular, los triángulos con ángulos pequeños en la malla de elementos finitos inducen grandes valores propios de la matriz de rigidez, degradando la calidad de la solución.
Referencias
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- Johnson, C. (2009), Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos , Dover, ISBN 978-0486469003
- Zienkiewicz, OC ; Taylor, RL; Zhu, JZ (2005), El método de los elementos finitos: sus bases y fundamentos (6a ed.), Oxford, Reino Unido: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205