En lógica proposicional , la implicación material [1] [2] es una regla válida de reemplazo que permite que un enunciado condicional sea reemplazado por una disyunción en la que se niega el antecedente . La regla establece que P implica que Q es lógicamente equivalente a no- o (es decir, ya sea debe ser verdad, o no debe ser verdad) y que cualquiera de las formas puede reemplazar a la otra en pruebas lógicas .
Dónde ""Es una metalógico símbolo que representa 'puede ser sustituido en una prueba con', y P y Q son cualquier dado lógicas declaraciones .
Notación formal
La regla de implicación material puede escribirse en notación secuencial :
dónde es un símbolo metalogico que significa que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico (es decir, el último se sigue lógicamente del primero);
o en forma de regla :
donde la regla es que siempre que una instancia de ""aparece en una línea de una prueba, se puede reemplazar con"";
o como el enunciado de una tautología funcional de verdad o teorema de lógica proposicional:
dónde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal .
Prueba parcial
Supongamos que se nos da que . Entonces nosotros tenemospor la ley del medio excluido (es decir, o debe ser verdad, o no debe ser verdad).
Posteriormente, desde , puede ser reemplazado por en la declaración, y por lo tanto se sigue que (es decir, ya sea debe ser verdad, o no debe ser verdad).
Supongamos, a la inversa, que se nos da . Entonces sí es cierto que descarta la primera disyunción, por lo que tenemos . En breve,. [3] Sin embargo, si es falsa, entonces esta vinculación falla, porque la primera disyuntiva es cierto, lo que no impone ninguna restricción al segundo disyunto . Por tanto, no se puede decir nada sobre. En resumen, la equivalencia en el caso de falsos es sólo convencional y, por tanto, la prueba formal de equivalencia es sólo parcial.
Esto también se puede expresar con una tabla de verdad :
PAG | Q | ¬P | P → Q | ¬P ∨ Q |
---|---|---|---|---|
T | T | F | T | T |
T | F | F | F | F |
F | T | T | T | T |
F | F | T | T | T |
Ejemplo
Un ejemplo es:
- Se nos da el hecho condicional de que si es un oso, entonces puede nadar. Luego, las 4 posibilidades de la tabla de verdad se comparan con ese hecho.
- Primero: si es un oso, entonces puede nadar - T
- 2do: Si es un oso, entonces no puede nadar - F
- 3º: Si no es un oso, entonces puede nadar - T porque no contradice nuestro hecho inicial.
- 4to: Si no es un oso, entonces no puede nadar - T (como arriba)
Por tanto, el hecho condicional se puede convertir en , que es "no es un oso" o "puede nadar", donde es la afirmación "es un oso" y es la declaración "puede nadar".
Referencias
- ^ Patrick J. Hurley (1 de enero de 2011). Una breve introducción a la lógica . Aprendizaje Cengage. ISBN 978-0-8400-3417-5.
- ^ Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica . Prentice Hall. pag. 371 .
- ^ Math StackExchange: Equivalencia de a → by ¬ a ∨ b