En la lógica y campos relacionados como las matemáticas y la filosofía , " si y sólo si " (abreviado como " si " [1] ) es una conectiva lógica bicondicional entre enunciados, donde ambos enunciados son verdaderos o ambos son falsos.
El conectivo es bicondicional (una declaración de equivalencia material ), [2] y puede compararse con el material estándar condicional ("sólo si", igual a "si ... entonces") combinado con su reverso ("si"); de ahí el nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de los enunciados conectados requiere la verdad del otro (es decir, o ambos enunciados son verdaderos, o ambos son falsos), aunque es controvertido si el conectivo así definido es traducido correctamente por el inglés "si y sólo si "—con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y solo si Q significa que P es verdadero siempre que Q sea verdadero, y el único caso en el que Pes verdadero si Q también es cierto, mientras que en el caso de P si Q , podría haber otros escenarios donde P es verdadero y Q es falso.
Por escrito, las frases comúnmente utilizadas como alternativas a P "si y solo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P , P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q (compárese con la implicación material ), P precisamente si Q , P con precisión (o exactamente) cuando Q , P exactamente en caso de que Q y P Q por si acaso . [3] Algunos autores consideran que "iff" no es adecuado en la escritura formal; [4] otros lo consideran un "caso límite" y toleran su uso. [5]
En fórmulas lógicas, se utilizan símbolos lógicos, como [6] y , [7] en lugar de estas frases; consulte § Notación a continuación.
La tabla de verdad de P Q es la siguiente: [8] [9]
PAG | Q | P Q | P Q | P Q |
---|---|---|---|---|
T | T | T | T | T |
T | F | F | T | F |
F | T | T | F | F |
F | F | T | T | T |
Es equivalente al producido por la puerta XNOR , y opuesto al producido por la puerta XOR . [10]
Los símbolos lógicos correspondientes son "↔", [6] " ", [7] y " ≡ ", [11] ya veces "iff". Por lo general, se tratan como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (particularmente los de lógica de primer orden , en lugar de lógica proposicional ) hacen una distinción entre estos, en los que el primero, ↔, se usa como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que ⇔ se usa en razonamientos sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica ). En Łukasiewicz 's notación polaca , es el símbolo del prefijo 'E'. [12]
Otro término para este conectivo lógico es exclusivo ni .
En TeX , "si y solo si" se muestra como una flecha doble larga: mediante el comando \ iff. [13]
En la mayoría de los sistemas lógicos , se prueba un enunciado de la forma "P iff Q" probando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no-P , luego no-Q ". [1] Probar este par de afirmaciones a veces conduce a una prueba más natural, ya que no existen condiciones obvias en las que uno pueda inferir un bicondicional directamente. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyunciones, es decir, porque "sif" es funcional de verdad ", P iff Q "sigue si P y Q han demostrado ser ambos verdaderos, o ambos falsos.
El uso de la abreviatura "iff" apareció por primera vez impresa en el libro General Topology de John L. Kelley de 1955 . [14] Su invención a menudo se le atribuye a Paul Halmos , quien escribió "Inventé 'iff', para 'si y sólo si', pero nunca pude creer que fuera realmente su primer inventor". [15]
No está claro cómo se pretendía pronunciar "iff". En la práctica actual, la 'palabra' única "iff" casi siempre se lee como las cuatro palabras "si y sólo si". Sin embargo, en el prefacio de General Topology , Kelley sugiere que debería leerse de manera diferente: "En algunos casos donde el contenido matemático requiere 'si y solo si' y la eufonía exige algo menos, utilizo Halmos '' iff '". Los autores de un libro de texto de matemáticas discreto sugieren: [16] "En caso de que necesite pronunciar iff, agárrese realmente a la 'ff' para que la gente escuche la diferencia de 'if'", lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ ɪfː] .
Técnicamente, las definiciones son siempre declaraciones "si y sólo si"; algunos textos, como Topología general de Kelley, siguen las estrictas exigencias de la lógica y utilizan "si y sólo si" o sif en las definiciones de nuevos términos. [17] Sin embargo, este uso lógicamente correcto de "si y solo si" es relativamente poco común, ya que la mayoría de los libros de texto, trabajos de investigación y artículos (incluidos los artículos de Wikipedia en inglés) siguen la convención especial para interpretar "si" como "si y solo si si ", siempre que se trate de una definición matemática (como en" un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita "). [18]
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La suficiencia es lo opuesto a la necesidad. Es decir, dada P → Q (es decir, si P entonces Q ), P sería una condición suficiente para Q , y Q sería una condición necesaria para P . Además, dado P → Q , es cierto que ¬Q → ¬P (donde ¬ es el operador de negación, es decir, "no"). Esto significa que la relación entre P y Q , establecida por P → Q , se puede expresar de las siguientes formas, todas equivalentes:
Como ejemplo, tome el primer ejemplo anterior, que dice P → Q , donde P es "la fruta en cuestión es una manzana" y Q es "Madison se comerá la fruta en cuestión". Las siguientes son cuatro formas equivalentes de expresar esta misma relación:
Aquí, el segundo ejemplo puede reformularse en forma de si ... entonces como "Si Madison se comerá la fruta en cuestión, entonces es una manzana"; tomando esto junto con el primer ejemplo, encontramos que el tercer ejemplo se puede enunciar como "Si la fruta en cuestión es una manzana, entonces Madison se la comerá; y si Madison se comerá la fruta, entonces es una manzana".
A es un subconjunto propio de B . Un número está en A solo si está en B ; un número está en B si está en una .
C es un subconjunto pero no es un subconjunto propio de B . Un número es en B si y sólo si es en C , y un número está en C si y sólo si se encuentra en B .
Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P sólo si Q", "si P entonces Q" y "P → Q" significan que P es un subconjunto , ya sea propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P", y Q → P todos significan que Q es un subconjunto propio o impropio de P. "P si y solo si Q" y "Q si y solo si P" ambos significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.
Iff también se usa fuera del campo de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en discusiones matemáticas , tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de si y solo si , lo que indica que una declaración es necesaria y suficiente para la otra. [1] Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se señaló anteriormente, si se usa con más frecuencia que iff en declaraciones de definición).
Los elementos de X son todos y sólo los elementos de Y significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso , z está en X si y sólo si z está en Y ".
Si bien puede ser un gran ahorro de tiempo, no se recomienda que en la escritura formal.
Es común en la escritura matemática
teoremas que tienen la forma "P si y solo Q" son muy apreciados en matemáticas.
Dan lo que se llama condiciones "necesarias y suficientes", y dan nuevas formas completamente equivalentes y, con suerte, interesantes de decir exactamente lo mismo.
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