Reforma del tensor

En álgebra multilineal , una remodelación de tensores es cualquier biyección entre el conjunto de índices de un tensor de orden y el conjunto de índices de un tensor de orden, donde . El uso de índices presupone tensores en representación coordinada con respecto a una base. La representación de coordenadas de un tensor puede considerarse como una matriz multidimensional y, por lo tanto, una biyección de un conjunto de índices a otro equivale a una reordenación de los elementos de la matriz en una matriz de una forma diferente. Tal reordenamiento constituye un tipo particular de mapa lineal entre el espacio vectorial de orden ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ ell <d}$ ${\ Displaystyle d}$ tensores y el espacio vectorial de orden- tensores. ${\ Displaystyle \ ell}$

Dado un entero positivo , la notación se refiere al conjunto de los primeros $d$ enteros positivos. ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle [d]}$ ${\ Displaystyle \ {1, \ dots, d \}}$

Para cada entero donde para un entero positivo , sea V _k un espacio vectorial de n _k dimensiones sobre un campo . Luego están los isomorfismos del espacio vectorial (mapas lineales) ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq k \ leq d}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle F}$

donde es cualquier permutación y es el grupo simétrico de elementos. A través de estos (y otros) isomorfismos del espacio vectorial, un tensor puede interpretarse de varias formas como un tensor de orden donde . ${\ Displaystyle \ pi \ in {\ mathfrak {S}} _ {d}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {d}}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ ell \ leq d}$

El primer isomorfismo del espacio vectorial en la lista anterior , da la representación de coordenadas de un tensor abstracto. Suponga que cada uno de los espacios vectoriales tiene una base . La expresión de un tensor con respecto a esta base tiene la forma ${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes V_ {d} \ simeq F ^ {n_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes F ^ {n_ {d}}}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle V_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ {v_ {1} ^ {k}, v_ {2} ^ {k}, \ ldots, v_ {n_ {k}} ^ {k} \}}$