Matriz (matemáticas)

En matemáticas , una matriz ( matrices plurales ) es una matriz rectangular o tabla de números , símbolos o expresiones , dispuestos en filas y columnas, que se utiliza para representar un objeto matemático o una propiedad de dicho objeto.

Sin más especificaciones, las matrices representan mapas lineales y permiten cálculos explícitos en álgebra lineal . Por lo tanto, el estudio de matrices es una gran parte del álgebra lineal, y la mayoría de las propiedades y operaciones del álgebra lineal abstracta se pueden expresar en términos de matrices. Por ejemplo, la multiplicación de matrices representa la composición de mapas lineales.

No todas las matrices están relacionadas con el álgebra lineal. Este es, en particular, el caso de la teoría de grafos , de las matrices de incidencia y las matrices de adyacencia . [1] Este artículo se centra en las matrices relacionadas con el álgebra lineal y, a menos que se especifique lo contrario, todas las matrices representan mapas lineales o pueden verse como tales.

Las matrices cuadradas , matrices con el mismo número de filas y columnas, juegan un papel importante en la teoría de matrices. Las matrices cuadradas de una dimensión determinada forman un anillo no conmutativo , que es uno de los ejemplos más comunes de un anillo no conmutativo. El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado a la matriz, que es fundamental para el estudio de una matriz cuadrada; por ejemplo, una matriz cuadrada es invertible si y solo si tiene un determinante distinto de cero, y los valores propios de una matriz cuadrada son las raíces de un determinante polinomial .

En geometría , las matrices se utilizan ampliamente para especificar y representar transformaciones geométricas (por ejemplo, rotaciones ) y cambios de coordenadas . En el análisis numérico , muchos problemas computacionales se resuelven reduciéndolos a un cálculo matricial, y esto implica a menudo calcular con matrices de enormes dimensiones. Las matrices se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas y la mayoría de los campos científicos, ya sea directamente o mediante su uso en geometría y análisis numérico.

Una matriz es una matriz rectangular de números (u otros objetos matemáticos) para los que se definen operaciones como la suma y la multiplicación . [2] Por lo general, una matriz sobre un campo F es una matriz rectangular de escalares, cada uno de los cuales es un miembro de F . [3] [4] Una matriz real y una matriz compleja son matrices cuyas entradas son respectivamente números reales o números complejos . A continuación se analizan tipos de entradas más generales . Por ejemplo, esta es una matriz real:

Una matriz m × n : las m filas son horizontales y las n columnas son verticales. Cada elemento de una matriz a menudo se denota mediante una variable con dos subíndices . Por ejemplo, un 2,1 representa el elemento en la segunda fila y la primera columna de la matriz.
Representación esquemática de la matriz producto AB de dos matrices A y B .
Los vectores representados por una matriz de 2 por 2 corresponden a los lados de un cuadrado unitario transformado en un paralelogramo.
Una transformación lineal en R 2 dada por la matriz indicada. El determinante de esta matriz es -1, ya que el área del paralelogramo verde a la derecha es 1, pero el mapa invierte la orientación , ya que convierte la orientación de los vectores en sentido antihorario a una en sentido horario.
Un ejemplo de una matriz en forma normal de Jordan. Los bloques grises se llaman bloques Jordan.
Un gráfico no dirigido con matriz de adyacencia:
En el punto de silla ( x  =  0, y  =  0) (rojo) de la función f ( x , - y ) = x 2 - y 2 , la matriz de Hesse es indefinida .   
Dos cadenas de Markov diferentes. El gráfico muestra el número de partículas (de un total de 1000) en el estado "2". Ambos valores límite se pueden determinar a partir de las matrices de transición, que vienen dadas por (rojo) y (negro).