Celosía geométrica
En las matemáticas de matroides y celosías , una celosía geométrica es una celosía semimodular atomista finita , y una celosía matroide es una celosía semimodular atomista sin los supuestos de finitud. Las celosías geométricas y las celosías matroides, respectivamente, forman las celosías de los planos de matroides finitas e infinitas, y cada celosía geométrica o matroide proviene de una matroide de esta manera.
Una celosía es un poset en el que cualesquiera dos elementos y tienen tanto un supremum , denotado por , como un infimum , denotado por .
Las celosías geométricas son criptomórficas a matroides (finitas, simples), y las celosías matroides son criptomórficas a matroides simples sin el supuesto de finitud.
Al igual que las celosías geométricas, las matroides están dotadas de funciones de rango , pero estas funciones asignan conjuntos de elementos a números en lugar de tomar elementos individuales como argumentos. La función de rango de una matroide debe ser monótona (agregar un elemento a un conjunto nunca puede disminuir su rango) y deben ser funciones submodulares , lo que significa que obedecen a una desigualdad similar a la de las celosías semimodulares:
Los conjuntos máximos de un rango determinado se denominan planos. La intersección de dos pisos es nuevamente un piso, definiendo una operación de límite inferior mayor en pares de pisos; también se puede definir un límite superior mínimo de un par de pisos como el superconjunto máximo (único) de su unión que tiene el mismo rango que su unión. De esta manera, los planos de una matroide forman una celosía matroide, o (si la matroide es finita) una celosía geométrica. [4]
Por el contrario, si es una red matroide, se puede definir una función de rango en conjuntos de sus átomos, definiendo el rango de un conjunto de átomos como el rango de red del límite inferior más grande del conjunto. Esta función de rango es necesariamente monótona y submodular, por lo que define una matroide. Este matroide es necesariamente simple, lo que significa que cada conjunto de dos elementos tiene rango dos. [4]
